證明：因為函式在閉區間上連續，所以存在最大值與最小值，分別用和表示，現在分兩種情況討論：
1.若，則函式在閉區間上必為常數，結論顯然成立。
2.若，則因為使得最大值與最小值至少有乙個在內某點處取得，從而是的極值點，由條件在開區間內可導得，在處可導，故由費馬定理推知：。
羅爾中值定理在微分學解題中有著廣泛的應用，下面我們就對羅爾中值定理的應用作深入的研究，歸納出證題技巧。
(1)當時，一般這種情況下，我們只需驗證滿足羅爾定理的條件，根據羅爾定理來證明命題。在證明過程中，我們要注意區間的選取，有時候所需驗證的條件並不是顯而易見的。
例1 設在閉區間上連續，開區間內可導，。
證明：，使
分析：由於所需驗證的羅爾中值定理的條件並不是顯而易見的，而且這個問題涉及到定積分，所以我們考慮運用積分中值定理的知識，嘗試在中找到乙個區間，在中運用羅爾中值定理去證明。
證：因為
顯然在閉區間上連續，在開區間內可導
根據羅爾定理，，使
(2)當時，若所證明的等式中不出現端點值，則將結論化為：的形式，構造輔助函式，我們就可以運用(1)中的方法證明命題。我們在構造輔助函式時，可用觀察法、積分法、遞推法，常數法等等。
例2 設函式在閉區間上連續，在開區間內可導，證明：在內至少存在一點，使
證：要證明
只需證故令，則在閉區間上連續，在開區間內可導，且
故，，使得
即： 例3 證明方程在內至少有一實根。
分析：若令，則，的符號不易判別，所以不適合運用介值定理，因此我們採用羅爾中值定理來證明。
證：令，則在上連續，在內可導，且。由羅爾中值定理可知：，使。
即所以方程在內至少有一實根
例4 若可導，試證明在的兩個零點之間，一定有的零點。
分析：要證存在零點，我們需要構造乙個輔助函式，使得，將問題轉換為的零點存在問題。
證：令,設，為的兩個零點，即，。則有。假設，有在上連續，在內可導。
由羅爾中值定理可得，，使,即，又因為，故。
所以，在的兩個零點之間，一定有的零點。
羅爾中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基礎。下面我們對廣義的羅爾定理進行討論。廣義的羅爾定理有多種形式，它們的特點就是把定理條件中可微性概念拓寬，然後得到廣義的羅爾中值表示式。
廣義的羅爾定理有多種形式。
形式1：若函式在內可導，且，則在內至少存在一點，使。
證：若，則結論顯然成立。
若，不妨設，使，由，知：對，，，當，時，有，則。又在上連續，故必存在最小值，即，使。又當，時，都有，則也是在上的最小值。
故由費馬定理知，
例5 設函式在區間上可導，且有，證明，使。
證：令，因為，所以。又因為,所以。而，，所以，故在可導。由廣義的羅爾中值定理，，使，即。
形式2：若函式在內可導，且，則在內至少存在一點，使。
證明方法與形式1類似。
例6 求證函式在內至少存在一點，使得。
證：顯然函式在開區間內可導，且有，。則由形式2可知，在內至少存在一點，使。
而，故。
形式3：若函式在內可導，且(為有限數或)，則在內至少存在一點，使。
證：若為有限數，當,顯然結論成立。
若，必，使。不妨設，，使得。而，由區域性保號性，必，使，，使。因為在可導，所以在，連續。由介值定理，，，使。在利用羅爾中值定理，，使得。
若，由，，知，使得，使，則有，使,則有。再由在連續，，，有,在利用羅爾中值定理，有。
例7 求證函式在內至少存在一點，使。
證：顯然函式在內可導，且有，。則由形式3可知，在內至少存在一點，使。
而，故有。
形式4：若函式在內可導，且，則在內至少存在一點，使。
證：令，由題設知：，，且存在。
由形式3可知，，使，而，故，。
例8 求證函式在內至少存在一點，使。
證：顯然函式在內可導，且有，。則由形式4可知，在內至少存在一點，使。
而，故有，。
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