微分方程在用羅爾定理證明等式中的應用

作者：仲盛

**：《科技風》2023年第09期

摘要：用羅爾定理證明等式的關鍵是構造輔助函式，構造輔助函式的一般方法是用導數倒推，此種方法難度較大，可以用微分方程直接求解輔助函式，更方便更有效。

關鍵詞：中值定理；微分方程；輔助函式

微分中值定理最直接的應用是可以用來證明一些等式，而這類問題大多數情況下是以「至少存在一點使某等式成立」的形式出現。

在用微分中值定理證明等式時，該如何構造輔助函式，是高等數學中難以掌握的技巧，本文以羅爾定理為例，給出了乙個在用中值定理證明等式時構造輔助函式的方法，即通過微分方程來構造輔助函式，從而為技巧性較強的輔助函式的構造，提供了乙個一般性的新方法。

一、羅爾中值定理

由例1可見，用羅爾定理證明等式時，要構造輔助函式f（x），驗證其在[a，b]上滿足羅爾中值定理的三個條件，由證明f ′（ξ）=0，達到證明問題的目的。

至此，證明思路已經明確，但是該何構造輔助函式f（x）便成為解決問題的關鍵。在例1中是通過導數倒推，但是用導數倒推f（x）的難度比較大，解題者受自身水平所限，常常無法迅速正確的推出f（x），尤其是對高職學生來說難度更大。

用導數倒推構造輔助函式的過程，其實就是在做導數的逆運算，而導數的逆運算就是積分運算，而能將導數和積分結合應用的就是微分方程。由此，筆者找到了構造輔助函式的一般性方法，即用微分方程直接求出輔助函式f（x）。

二、結語

本文給出了在用中值定理證明等式時，可以用微分方程直接求解輔助函式，這種方法較之用導數倒推輔助函式，很多情況下會更直接更有效。

[1] maurice weir.托馬斯微積分[m].北京：高等教育出版社，2003，8.