目錄摘要 1
1 引言 2
2 常微分方程模型 2
2.1 建立常微分方程模型的方法和步驟 2
3 常微分方程模型示例 5
3.1 紅綠燈問題 5
3.2廣告模型 8
4 總結 10
參考文獻 11
常微分方程是在17世紀伴隨著微積分而發展起來的一門具有重要應用價值的學科.它是研究連續量變化規律的重要工具，是眾多實際問題與數學之間聯絡的重要橋梁.在歷史上，牛頓正是通過求解常微分方程證實了地球繞太陽運動的軌道是橢圓；天文學家通過常微分方程的計算，預見了海王星的存在.
隨著工業化的進展，常微分方程在航海、航空工業生產以及自然科學的研究中發揮了重要作用.計算機和計算技術的發展,使微分方程的求解突破了經典方法的侷限,邁向數值計算和影象模擬,這為微分方程的應用提供了更為廣闊的天地和有效手段,也使得建立數學模型顯得尤為重要.本文主要從紅綠燈問題、廣告模型來論述常微分方程在數學建模中的應用。
關鍵字：常微分方程；數學建模；紅綠燈問題；廣告模型；
一、 引言
常微分方程的形成與發展和很多學科有著密切的聯絡，例如力學、天文學、物理學等.數學的其他分支的快速發展，產生出很多新興學科，這些新興學科的產生都對常微分方程的發展有著深刻的影響，而且當前計算機的快速發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具.
數學解決實際問題就必須建立模型，而數學建模就是把數學語言描述實際現象的過程.利用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分重要的一步，但是也是最困難的一步.建立數學模型的過程，是把錯綜複雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程.
要通過大量調查、收集相關資料資料，觀察和研究實際物件的固有特徵和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關係，然後利用數學的理論和方法去分析和解決問題.
因此本文先簡要介紹了如何建立微分方程模型，並通過具體的例項來簡單地介紹了微分方程在數學建模中的應用.
二、 常微分方程模型
2.1 建立常微分方程模型的方法和步驟
微分方程模型的特點是反映客觀現實世界中量與量的變化關係，往往與時間有關是乙個動態(力)系統．構造常微分方程的數學模型有如下幾種方法：
1） 運用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型
主要利用各學科中已知的定理或定律來建立的.如力學中的牛頓第二運動定律，萬有引力定律，彈性形變中的虎克定律，拆裡定律，阿基公尺德原理，放射性問題中的衰變率，人口問題中的增長率等．
2）利用導數的定義建立微分方程模型
在微積分中導數是乙個重要概念，其定義為
如果函式是可微的，那麼就可解釋為相對於在該點的瞬時變化率。把導數解釋為瞬時變化率在很多建模應用問題中都有用．
3）利用微元法建立常微分方程模型
這種方法主要是通過尋求微元之間的關係式，直接對函式運用有關定律建立模型．利用微元法來建立常微分方程模型，其步驟是：根據問題的具體情況，選取乙個自變數，並確定其變化區間為；在區間中任意選取乙個任意小的區間記作，求出相應於這個區間的部分量的近似值．將近似的表示為乙個連續函式在處的值與的乘積，即，記，稱為量的微元．等式兩邊同時積分就可以求出要求的量了．這種方法經常被應用於在空間解析幾何上可以用微元法求曲線的弧長、平面圖形的面積、旋轉曲面的面積、旋轉體體積；代數方面求近似值以及流體混合問題；物理上求變力做功、壓力、靜力矩與重心．
4）模擬近似
對於規律或現象不很清楚，比較複雜的實際問題，常用模擬近似法來建立常微分方程模型．這類模型一般要做一些合理假設，將要研究的問題突出出來．
三常微分方程模型示例
建立微分方程模型就是把物理、化學、生物科學、工程科學和社會科學中的規律和原理用含有待定函式的導數或微分的數學關係式表示出來．下面一些微分方程模型在實際生活中的應用．
3.1紅綠燈問題
在十字路口的交通管理中，亮紅燈之前，要亮一段時間的黃燈，這是為了讓那些正行駛在十字路口的人注意，告訴他們紅燈即將亮起，假如你能夠停住，應當馬上剎車，以免衝紅燈違反交通規則.這裡我們不妨想一下：黃燈應當亮多久才比較合適？
現在，讓我們來分析一下這個問題．在十字路口行駛的車輛中，交警主要考慮的是機動車輛，因為只要機動車輛能停住，那麼非機動車輛自然也應當能停住。駛近交叉路口的駕駛員在看到黃色訊號燈後要立即做出決定：是停車還是通過路口．如果他決定停車，必須有足夠的距離能讓他能停得住車．也就是說，在街道上存在著一條無形的線，從這條線到街口的距離與此街道的法定速度有關，法定速度越大，此距離也越大．當黃燈亮起時車子到路口的距離小於此距離時不能停車，否則會衝出路口．大於此距離時必須停車，等於此距離時可以停車也可以通過路口（注：
此街道的法定速度由另一問題討論，制定法定速度的目的是為了最大限度地發揮這一街道的作用）．對於那些已經過線而無法停住的車輛，黃燈又必須留下足夠的時間使它們能順利地通過路口．
根據上述分析，我們確定了求解這一問題的步驟如下：
步1. 根據該街道的法定速度求出停車線位置（即停車線到街口的距離）
步2. 根據停車線位置及法定速度確定黃燈該亮多久
停車線的確定:要確定停車線位置應當考慮到兩點
(1)駕駛員看到黃燈並決定停車需要一段反應時間，在這段時間裡，駕駛員尚未剎車．
(2)駕駛員剎車後，車還需要繼續行駛一段距離，我們把這段距離稱為剎車距離．
駕駛員的反應時間（實際為平均反應時間）較易得到，可以根據經驗或者統計資料求出，交通部門對駕駛員也有乙個統一的要求（在考駕照時都必須經過測試）．例如，不失一般性，我們可以假設它為1秒。停車時，駕駛員踩動剎車踏板產生一種摩擦力，該摩擦力使汽車減速並最終停下．設汽車質量為,剎車摩擦係數為，為剎車後在t時刻內行駛的距離，更久剎車規律，可假設剎車制動力為（為重力加速度）．由牛頓第二定律，剎車過程中車輛應滿足下列運動方程
3.3)
在方程(3.3)兩邊同除以並積分一次，並注意到當時，得到
3.4)
剎車時間可這樣求得，當時，，故
將(3.4)再積分一次，得
將代入，即可求得停車距離為
據此可知，停車線到路口的距離應為：
等式右邊的第一項為反應時間裡駛過的路程，第二項為剎車距離．
黃燈時間的計算：
在黃燈轉為紅燈的這段時間裡，應當能保證已經過線的車輛順利地通過街口．記街道的寬度為（很容易測得），平均車身長度為，這些車輛應通過的路程最長可達到，因而，為保證過線的車輛全部順利通過，黃燈持續時間至少應當為：
在商品銷售中，很少有像上例中講的僅靠商品自身做廣告，而是要靠各種**大肆宣傳。雖然說「只要是美的，人人喜歡」，「酒香不怕巷子深」，但是人們已越來越認識到廣告的作用。本模型就從數學角度**廣告與銷售量的關係，並指出廣告在商品的不同銷售階段的差異。
無論你是聽廣播，還是看報紙，或是收看電視，常可看到、聽到商品廣告。隨著社會向現代化的發展，商品廣告對企業生產所起的作用越來越得到社會的承認和人們的重視。商品廣告確實是調整商品銷售量的強有力手段，然而，你是否了解廣告與銷售之間的內在聯絡？
如何評價不同時期的廣告效果？這個問題對於生產企業、對於那些為推銷商品作廣告的企業極為重要。下面我們介紹獨家銷售的廣告模型。
我們假設：
1.商品的銷售速度會因作廣告而增加，但這種增加是有一定限度的，當商品在市場上趨於飽和時，銷售速度將趨於它的極限值，當速度達到它的極限值時，無論再作何種形式的廣告，銷售速度都將減慢。
2.自然衰減是銷售速度的一種性質，即商品銷售速度隨商品的銷售率增加而減小。
3.令表示時刻商品銷售速度；a（t）表示時刻廣告水平（以費用表示）；m為銷售的飽和水平，即市場對商品的最大容納能力，它表示銷售速度的上極限；為衰減因子，即廣告作用隨時間增加而自然衰減的速度，為常數。
問題中涉及的是商品銷售速度隨時間的變化情況：
商品銷售速度的變化=增長-自然衰減。
為描述商品銷售速度的增長，由模型假設1知商品銷售速度的淨增長率應該是商品銷售速度的減函式，並且存在乙個飽和水平，使得。
為簡單起見，我們設為的線性減函式，則有
，其中用表示響應係數，即廣告水平對商品銷售速度的影響能力，為常數。
因此可建立如下微分方程模型：
。從模型方程可知，當或時，都有
為求解該模型，我們選擇乙個廣告策略
。在時間段內，用於廣告的總費用為，則，代入模型方程有。令
，，則有
。其解為
。若令，則
。當時，模型為
，其通解為
，而時，所以。故。
的圖形如圖3-1所示。
圖2圖3
四、總結
短暫的常微分方程課程的學習，讓我對微分方程有了更加深刻的了解，我發現一切數學理論的產生都是為了解決實際應用過程中的問題.而一切數學模型的建立，都是為了更好的指導數學理論在實際生活中的應用.常微分方程的出現、以及常微分方程在數學建模中的應用，就是為了更好地使普通人理解數學理論，並更好的解決實際問題.
目前，數學模型己經廣泛應用於社會的各個領域，人們追求定量分析和優化決策，這都離不開數學模型．數學模型是為了解決現實問題而建立起來的，它能夠反映現實，也能夠反映現實的內在規律和數量關係．數學模型作為一種模型，必須對現象做出一些必要的簡化和假設，首先要忽略現實問題中許多與數量無關的因素．其次還要忽略一些次要的數量因素，從而在本質上更能集中反映現實問題的數量規律．由於建立數學模型可以使用所有的數學工具，現實問題又是多種多樣的，所以造成數學模型的種類繁多，本文中主要是應用常微分方程這個數學工具來進行數學建模．隨著科學技術的發展和社會進步，常微分方程的應用不斷擴大和深入．而它的每一步進展都在向數學的其他分支提出需求，需要他們提供相應的定理；同時也向其他數學分支提出問題促其完善，最終促使雙方的共同發展．本文主要通過幾個實際問題的數學建模，利用一階常微分方程、二階常微分方程的求解技巧來求出模型的結果，並且通過分析這個結果來解釋現象或提供最佳方案．本文所做的分析只是眾多應用中的乙個方面，隨著現代科學技術的飛速發展，有理由相信基於微分方程的數學建模有著更加廣闊的前景．
微分方程總結
一 基本概念 微分方程 方程的階 方程的解 通解 特解 初始條件 積分曲線 階線性微分方程等.二 一階微分方程 1.可分離變數的微分方程 1 定義 形如的方程.2 解法 分離變數，兩邊同除，得，再積分可 得通解為 2.齊次方程 定義 形如的方程.解法 令，則，於是，原方程化為，整理為，積分為，再將代...
常微分方程
第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...
高階微分方程
教學目標 1.理解高階線性微分方程的一般理論，n階齊次 非齊次 線性微分方程解的性質與結構，熟練掌握n階常係數齊次線性微分方程的待定指數函式解法。2.掌握n階非齊次線性微分方程的常數變易法，理解n階常係數非齊次線性微分方程特解的待定係數法和laplce變換法。3.熟練尤拉方程與高階方程的降階法和冪級...