第二章一階微分方程的初等解法
2-1 已知試求函式的一般表示式。
解對方程，兩邊關於求導得，即
，分離變數，可求得
，代入原方程可得，從而的一般表示式為。
評注：本題中常數的確定不能直接通過所給積分方程得到，而是需將通解代回原方程來確定。
2-2 求具有性質的函式，已知存在。
解由導數的定義可得
，顯然可得，故
分離變數，再積分可得
，再由，知，從而。
評注：本題是函式方程的求解問題，利用導數定義建立微分關係，轉化為求解常微分方程的初值問題。
2-3 若，證明齊次方程有積分因子。
證方法1 用湊微分法求積分因子。
我們有恒等式
而 ，，所以原方程變為
。 用乘上式兩邊，得
，由於為零次齊次函式，故它可表成的某一函式，記為，
，原方程進一步可改寫成
，它為乙個恰當方程，表明為齊次方程的積分因子。
方法2 化為分離變數方程求積分因子。
設是次齊次函式，則令，，有
將其代入原方程中，得
，可以看出上方程為可分離變數的方程，只要給上式乘以積分因子，
方程就可變數分離，即化為恰當方程，因此，齊次方程的積分因子是。
方法3 用定義求積分因子。
由積分因子的定義，只需證明二元函式滿足
即可。為此，我們計算
，，，由於為齊次方程，令顯然，
，故，因而是齊次方程的積分因子。
評注：注意求積分因子方法的正確運用，對於齊次方程，除了可以化為變數可分離方程以外，我們還可以採用本例中所得到的結果，很快尋找出乙個積分因子 ，將其轉化為恰當方程來求解。
2-4 解方程。
解由題得
，這是以為未知函式和以為自變數的迫努利方程，則有，令，
，而的解為。
採用常數變易法，令代入中得，故，
從而原方程的解為
。評注：在微分方程中，變數與具有同等的地位，對同乙個方程，既可以就求解，也可以就進行求解，如果方程就求解比較困難，可以嘗試將原方程變化為，然後就進行求解，有時會取得意想不到的效果，參見典型習題2-15，4），和2-16，4）。
2-5 試匯出方程分別具有形為和的積分因子的充要條件。
解根據判別準則（定理2.1），是方程的積分因子的充要條件是
。則有 ，即
，，因此方程具有形如的積分因子的充要條件是
。是方程的積分因子的充要條件是
即 ，，
因此方程具有形如的積分因子的充要條件是
。評注：利用對稱形式的微分方程的係數容易判斷方程是否具有特殊形式的積分因子，從而給出求積分因子的思路。
2-6 設及連續，試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴於的積分因子。
證必要性。若方程為線性方程，則方程可寫為，令，
由題有連續，，
由定理2-2的結論1方程有積分因子，僅依賴於。
充分性。設方程有僅依賴於的積分因子，即
為恰當方程，有，，
，上式右端僅為的函式，令其為，積分上式，得
故該方程為線性方程。
評注：一階線性方程一般用常數變易法求解，此例給出了線性方程的又一種求解方法，即積分因子法。
2-7 設函式連續、可微且，試證方程有積分因子。
證方法1 用積分因子定義證明。令，
故該方程有積分因子。
方法2 利用變數代換方法證明。
令，，代入方程消掉乙個變數，有
，這是分離變數方程，只要給兩端乘以因子就可分離變數，從而變為恰當方程。
所以原方程的積分因子為。
評注：求積分因子時，注意整體變數代換。
2-8 假設方程
中的函式滿足關係，其中分別為和的連續函式，試證方程有積分因子。
證由於故是方程的積分因子。
評注：給出了積分因子的一種構造方法。
2-9設是方程的積分因子，從而可得可微函式，使得。試證也是方程的積分因子的充要條件是，其中是的可微函式。
證必要性。若也是方程的積分因子，則存在可微函式，使得，即有
，則，即是的函式，當然也是的函式，且記為，由於積分因子的可微性，是可微函式。
由，則。
充分性。證明是積分因子。為此將其乘以方程兩端得，，
，。即存在二元可微函式，使得，故是方程的積分因子。
評注：這個結論告訴我們，方程的積分因子之間的關係。若知道乙個積分因子，則可構造該方程積分因子的通式。在尋找方程的積分因子時，常用到此結論，可參見例2-5和例2-6。
2-9 設是方程的兩個積分因子，且常數，求證是方程的通解。
證由於是方程的兩個積分因子，由定理2.2有
。同時，若常數，則，只要證明這個全微分沿方程的解恒為零即可，即有
故是方程的通解。
2-10 假設齊次方程是恰當方程，當時，試證它的通解可表示為。
證令。要證明為方程的通解，就是要證明全微分沿方程的解恒為零即可。為此，計算，，
則有 。
即要證明
即可。因為所給方程為恰當方程，有，
故有再由為齊次方程，故令，顯然，
故，故有為原方程的通解。
評注：以上兩道題都是證明某二元函式為方程的通解（或通積分）的問題。這就是要證明全微分沿該方程的解恒為零，即證明，或即可。
2-11 求解下列隱式方程
12）34）
5）解 1） 令，代入方程，得
，由，積分得
，方程引數形式的通解為
。2） 令，則有
，方程引數形式的通解為，。
3） 令，則，
，由於，
積分上式得
，故方程引數形式的通解為 。
4） 令，得，
將解出得
1） 給(1)式兩邊關於求導，得
即由，得， ，
代入（1）得，即得方程的通解為
。又由，得，故得也是方程的解。
5） 令，則有，，
由於 ，，，
由，消去引數得原方程的通積分為。
評注：根據方程的特點，通過引入適當的變換，可以求得原方程的引數形式的通解，尋找適當變換是求解的關鍵。這類不顯含（或）的方程，如果從方程中能解出或（或）的關係，方程將轉化為顯式方程或將（或）解出的方程，從而按照相應的方法求解。
否則，我們就要引入變換，其目的在於通過這個便量代換，將方程中的，（或）從方程中解出，用新的參變數表示，然後再求方程的解。
2-12 解下列方程
1） 2）
解 1） 解法1（降次法）方程可化為，，
令方程可化為下列迫努利方程
，從而得
，令，則
，此方程的通解為
，故原方程的通積分為 ，另外還有也是方程的解。
解法2給方程兩端同乘以得，，
令，則，方程可化為分離變數方程
分離變數，再積分得
，故原方程的通積分為 ，另外還有也是方程的解。
2）解法1 （降次法）原方程可化為，或，
令方程化為下列可轉化為齊次方程的方程
。解此方程得其通解為，因此，原方程的通解為
。解法2 將原方程轉化對稱形式為
易判斷此方程為恰當方程，因而方程的解為
。 評注：當方程中自變數和未知函式的次數較高時，我們仿照此例的方法可先設法「降次」，有可能化為可積方程，然後積分求解，這也是求解常微分方程常用的技巧。
但有時將方程轉化為對稱形式後，有意想不到的結果。若判斷方程是恰當方程，則可直接得到方程的通解，如果不是，再嘗試用其它方法求解。
2-13解下列方程
12）34）5）
解 1） 容易觀察方程有積分因子，乘以方程兩端得，，
故原方程的通積分為。
2） 原方程各項重新組合得
，容易觀察方程有積分因子，乘以方程兩端得
，，故原方程的通積分為 ，還有解。
3） 原方程各項重新組合得，，
容易觀察方程有積分因子，乘以方程兩端得
即故原方程的通積分為， 即。
4） 原方程各項重新組合得
。容易觀察方程有積分因子，乘以方程兩端得
即 ，
故原方程的通積分為 ，即；還有解。
5） 原方程各項重新組合得
容易觀察方程有積分因子，乘以方程兩端得
，即，故原方程的通積分為 。
評注：注意利用微分式
，，，，， 。
2-14解下列方程
12）3解 1） 令，則
分離變數得
積分得即
故原方程的通積分為
，還有解 。
2） 原方程變形為，
令 ，則，
，分離變數得
，積分得，。
故原方程的通積分為 。
3） 原方程變形為，
令，則，
， 故原方程的通積分為 。
評注：在解一階常微分方程時，經常利用整體代換的思想化簡方程，從而達到求解的目的。
2-15 解下列方程
12）3） 4）
解 1） 令，則，即得，
，故原方程的通積分為。
2） 令，則，代入方程有
，積分得 ，
，故原方程的通積分為 。
3） 原方程變形為
，令，則，
，積分得
，即得原方程的通積分為。
4） 方程可化為，
令，則，代入上方程得
，，兩邊積分得 ，
，即得原方程的通積分為；另外還有解。
評注：齊次方程是利用整體代換將原方程化簡為可分離變數的方程來求解的。
2-16 解下列方程
12）3） 4）
解 1） 給方程兩端同乘以，得，，
即得原方程的通積分為
。2） 給方程兩端同乘以，得
，由公式得
即得原方程的通積分為
。3） 原方程變形為
，給上方程兩端同乘以，得，，
由公式得
即得原方程的通積分為 。
4） 解法1 原方程變形為
， 給上方程兩端同乘以，得
一階常微分方程解法總結
一階微分方程的解法 一 可分離變數的方程 1 形如 當時，得到，兩邊積分即可得到結果 當時，則也是方程的解。例1.1 解 當時，有，兩邊積分得到 所以顯然是原方程的解 綜上所述，原方程的解為 2 形如 當時，可有，兩邊積分可得結果 當時，為原方程的解，當時，為原方程的解。例1.2 解 當時，有兩邊積...
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