附錄a 線性常微分方程
本課程的研究內容與常微分方程理論有非常密切的聯絡，因此在本附錄裡，我們將對線性常微分方程的知識——包括解的存在性、解的結構和求解方法做一些回顧和總結。
把包含未知函式和它的j階導數的方程稱為常微分方程。線性常微分方程的標準形式
a.1）
其中n稱為方程的階數，和是給定的函式。可微函式在區間 i上滿足方程（a.1），則稱其為常微分方程（a.
1）在 i上的乙個解。，稱為方程（a.1）的自由項，當自由項時方程（a.
1）稱為是齊次方程，否則稱為非齊次方程。一般來說常微分方程的解是不唯一的，我們將方程的全部解構成的集合稱為解集合，解集合中全部元素的乙個通項表示式稱為方程的通解，而某個給定的解稱為方程的特解。
在本附錄裡，我們重點介紹一階和二階常微分方程的相關知識。
a.1 一階線性常微分方程
一階線性常微分方程表示為
a.2）
當，方程退化為
a.3）
假設不恆等於零，則上式等價於
而，從而（a.3）的通解為
a.4）
對於非齊次一階線性常微分方程（a.2），在其兩端同乘以函式
注意到上面等式的左端
因此有兩端積分
其中c是任意常數。進一步有
綜上有如下結論
定理a.1 假設上連續，則一階線性非齊次常微分方程（a.1）的通解具有如下形式
a.5）
其中c是任意常數。
觀察（a.4）式和（a.5）式，我們發現一階線性非齊次常微分方程（a.
1）的解等於一階線性齊次常微分方程（a.2）的通解加上函式。容易驗證，是方程（a.
1）的乙個特解。這符合線性方程解的結構規律。
例1 求解一階常微分方程
解此時,由（a.5）式，解為
其中c是任意常數。
a.2 二階線性常微分方程
將具有以下形式的方程
a.6）
稱為二階線性常微分方程，其中都是變數x的已知連續函式。稱
a.7）
為與（a.6）相伴的齊次方程.
a．2．1 二階線性微分方程解的結構
首先討論齊次方程（a.7）解的結構。
定理a.2 如果函式是線性齊次方程（a.7）的兩個解，則函式仍為該方程的解，其中是任意的常數。
定理1 說明齊次線性常微分方程（a.7）的解如果存在的話，一定有無窮多個。為了說明齊次線性常微分方程（a.7）通解的結構，首先給出函式線性無關的定義。
定義a.1設函式是定義在區間i上的n個函式，如果存在n個不全為零的常數，使得在區間i上恆成立，則稱函式在區間上線性相關，否則稱為線性無關。
例如函式在整個數軸上是線性相關的，而函式在任何區間內是線性無關的。
特別的，對於兩個函式的情形，它們線性相關與否，只需要看它們的比值是否為常數即可，比值為常數，那麼它們線性相關，否則線性無關。
有了函式線性無關的概念，就有如下二階線性齊次微分方程（a.7）通解結構的定理。
定理a.3假設線性齊次方程（a.7）中，函式在區間上連續，則方程（a.7）一定存在兩個線性無關的解。
類似於代數學中齊次線性方程組，二階線性齊次常微分方程的解集合也存在基礎解系。
定理a.4 若是二階線性齊次常微分方程（a.7）的兩個線性無關的特解，則是該方程的通解，其中是任意的常數。
從定理a.4可以看出二階線性齊次常微分方程（a.7）的任何兩個線性無關的特解構成其基礎解系。
關於二階線性非齊次常微分方程（a.6）的通解，有如下結論
定理a.5 若函是方程（a.6）的乙個特解，是方程（a.6）相伴的齊次方程的通解，則是二階線性非齊次常微分方程（a.6）的通解。
從定理a.4,a.5可以得到求解二階線性非齊次常微分方程（a.6）的通解的一般步驟：
（1） 求解與（a.6）相伴的齊次方程（a.7）的線性無關的兩個特解，得該齊次方程的通解；
（2） 求二階線性非齊次常微分方程（a.6）的乙個特解，那麼方程（a.6）的通解為
對於一些相對複雜的問題，如下的線性微分方程的疊加原理是非常有用的。
定理a.6 設二階線性非齊次常微分方程為
a.8）
且分別是
和的特解，則是方程（a.8）的特解。
a．2．1 二階常係數線性常微分方程的解法
如果二階線性常微分方程為
a.9）
其中均為常數，則稱為二階常係數線性常微分方程。以下分兩種情形討論方程（a.9）的解法。
一、二階常係數線性齊次方程的解法
此時問題為
a.10）
考慮到方程中的係數均為常數，可以猜想該方程具有形如的解，其中r為待定常數，將和及代入方程得，
,由於，因此，只要r滿足方程
a.11)
即只要r是上述一元二次方程的根時，就是（a.10）的解，方程(a.11)稱為方程(a.
10)的特徵方程，它的根稱為特徵根。關於特徵方程(a.11)的根與微分方程(a.
10)的解的關係有如下結論。
1． 特徵方程具有兩個不相等的實根，即。
此時函式都是微分方程(a.10)的解，且因常數，所以線性無關，因而常微分方程的通解為
.2． 特徵方程具有兩個相等的實根，即。
這時函式是微分方程(a.11)的乙個特解，還需另找乙個與之線性無關的特解。為此設，其中為待定的函式，將及其
一、二階導數代入方程(a.10)得，
，注意到是特徵方程的根，且，因此只要滿足，則就是微分方程(a.10)的解。特別地取，此時微分方程(a.11)的通解為
.3． 特徵方程具有一對共軛復根，。
這時兩個線性無關的特解是兩個複數解。為了便於在實數範圍內討論問題，我們再構造兩個線性無關的實數解。由尤拉公式，可得
，,於是由定理１知，函式
， 是微分方程(a.10)的解，容易驗證它們線性無關，所以這時方程的通解可以表示為
.上述求解二階常係數線性齊次方程的方法稱為特徵根法，其具體步驟可總結如下
（１）寫出所給微分方程的特徵方程；
（２）求出特徵根；
（３）根據特徵根的三種不同情況求得對應的特解，並寫出其通解。
例2 求解二階齊次常微分方程
（12）.
解(1) 特徵方程為，其根為，所以微分方程的兩個線性無關的解為，所以通解可以表示為。又，因而也是微分方程的解，並且它們也是線性無關的，因此也可以構成微分方程的基礎解系，即方程的通解也可以表示為，這種表示方法在討論某些問題時更加方便。
(2) 特徵方程為，其根為，所以微分方程的兩個線性無關的解為，所以通解可以表示為。
在實際應用中，我們經常遇到帶有一些條件的微分方程，如或等，這些問題稱為初值問題或邊值問題。
例3 求方程的滿足初始條件的特解
解的特徵方程為，有重根，其對應的兩個線性無關的特解為
,所以通解為
,求導得
,將代入以上兩式得
,解之得，即得初值問題為
.例4 求含引數方程（為實數）滿足邊界條件的特解。
解微分方程的特徵方程為，為實數，分以下三種情形進行討論：
1 當時，特徵方程有兩個互不相等的實根，此時微分方程的兩個線性無關的特解為，因此其通解為
,其中是任意常數。由條件, 得
,解之得, , 從而，也即方程沒有非零解。
2 當時，方程退化為其特徵方程有兩個相等的實根，此時微分方程的兩個線性無關的特解為，因此其通解為
.其中是任意常數（當然這個通解也可以直接由積分兩次得到）。
由條件, 得，此時，方程沒有非零解。
3 當時，特徵方程有兩個互為共軛的復根，於是微分方程的兩個線性無關的特解為，因此其通解為
,其中是任意常數。代入邊界條件，得
,由於，所以，故，要使不恆等於零，須，因此必有，從而，也即
，相應的解為
,其中為任意的數。
例5 求解如下帶有週期條件的常微分方程問題
解首先與上例同理可得常微分方程在引數取不同值時的通解為
結合週期條件，可求得引數，，而相應的解為
二、二階常係數線性非齊次常微分方程的解法
由定理a.5, 線性非齊次常微分方程
,的解可由其相伴齊次方程的通解和非齊次方程的乙個特解之和構成。因此，求解二階常係數線性非齊次常微分方程的關鍵就在於確定它的乙個特解。確定特解的方法很多，下面介紹常用的待定係數法，該方法的基本思想是：
利用右端項的具體形式確定特解的結構，然後代入到非齊次方程中確定其中係數。下面分幾種情形來討論特解的求法。
1．自由項為多項式，即
設二階常係數線性非齊次常微分方程
a.12）
其中為x的n次多項式。由於方程中係數都是常數，且多項式的導數仍為多項式，所以可設（a.12）的特解為
,其中是與同階的多項式，k是乙個常數，當係數時，k取０，當時，k取１，當時，k取２。
例6 求非齊次方程的乙個特解。
解使用待定係數法。由於該方程中自由項是二次多項式，且，故取，所以設特解為，代入方程，合併同類項後有
,比較兩端係數可得。於是求得特解為。
2. 自由項為型
設二階常係數線性非齊次常微分方程
a.13）
其中均為常數。考慮到都是常數，且指數函式的導數仍為指數函式，所以可設（a.13）的特解為
,其中為待定的係數，當不是（a.13）的相伴齊次方程的特徵根時，k取０；當是（a.13）的相伴齊次方程的單特徵根時，k取１；當是（a.13）的相伴齊次方程的重特徵根時，k取２。
05第五節二階線性微分方程解的結構
分布圖示 二階線性微分方程的概念 二階線性微分方程的解的定理 定理1 函式的線性相關和線性無關 定理2定理3定理4 定理5例1 內容小結課堂練習 習題8 5 內容要點 一 二階線性微分方程解的結構 二階線性微分方程的一般形式是 6.1 其中 及是自變數的已知函式，函式稱為方程 6.1 的自由項.當時...
05第五節二階線性微分方程解的結構
內容分布圖示 二階線性微分方程的概念 二階線性方程的解的性質 定理1 函式的線性相關和線性無關 定理2定理3定理4 定理5例1 內容小結課堂練習 習題8 5 返回 內容要點 一 二階線性微分方程解的結構 二階線性微分方程的一般形式是 6.1 其中 及是自變數的已知函式，函式稱為方程 6.1 的自由項...
二階常微分方程的幾種解法
二階常係數非齊次線性微分方程的幾種解法 一公式解法 目前,國內採用的高等數學科書中,求二階常係數線性非奇次微分方程 1 通解的一般方法是將其轉化為對應的齊次方程的通階與它本身的特解之和。微分方程階數越高,相對於低階的解法越難。那麼二階常係數齊次微分方程是否可以降價求解呢?事實上,經過適當的變數代換可...