二階常係數非齊次線性微分方程的幾種解法
一公式解法
目前,國內採用的高等數學科書中, 求二階常係數線性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是將其轉化為對應的齊次方程的通階與它本身的特解之和。微分方程階數越高, 相對於低階的解法越難。
那麼二階常係數齊次微分方程是否可以降價求解呢? 事實上, 經過適當的變數代換可將二階常係數非齊次微分方程降為一階微分方程求解。而由此產生的通解公式給出了該方程通解的更一般的形式。
設二階常係數線性非齊次方程為
1這裡都是常數。為了使上述方程能降階, 考察相應的特徵方程
2對特徵方程的根分三種情況來討論。
1 若特徵方程有兩個相異實根。則方程(1) 可以寫成
即 記, 則(1) 可降為一階方程
由一階線性方程的通解公
53知其通解為
這裡表示積分之後的函式是以為自變數的。再由
解得應用分部積分法, 上式即為
42 若特徵方程有重根, 這時方程為
或由公式(3) 得到
再改寫為
即故5例1 求解方程
解這裡的兩個實根是2 , 3
.由公式(4) 得到方程的解是
這裡.例2 求解方程
解特徵方程有重根1 ,.由公式(5) 得到方程的解是
二常數變易法
二階常係數非齊次線性微分方程的一般形式是
67)其中為常數,根構造方程(7) 的兩個線性無關的解,再由這兩個解構造出方程(7) 的通解。特徵方程的特徵根有三種情況。
1. 當特徵方程有兩個不相同的實根時,方程(7) 的兩個線性無關的解為從而得方程(7) 的通解.
2. 當特徵方程有二重實根λ時,可得方程(7) 的兩個線性無關的解,從而得到方程(7)的通解。
3. 當特徵方程有一對共軛復根時,可得方程(7) 的兩個線性無關的解e。從而得方程(7) 的通解。
綜上所述可知,方程(7) 總有形如、的解,其中為方程(7) 所對應的特徵方程的特徵根。關於方程(6) 的求解,我們就為或時進行了討論,給出了這兩種情況下的解法。
我們將由方程(7) 的乙個特解,通過引數變易法構造出方程(6) 的通解。
首先求出方程(7) 的乙個特解,不妨將此解記為。
設方程(6) 有形為[5]的解,將
(其中為,為代入方程(6) ,得
∵是方程(7) 的解
∴上式為,令,得根據一階線性非齊次方程的解法,得
〕為方程(6) 的通解。
三多項式法
命題: 對於常係數線性微分方程
8)其中p 、 q 與是常數,是的m次多項式,
若令,則方程(8) 可化為: [7]
為方程(8) 對應齊次方程的特徵多項式.
此處即要求方程(8) 的特解,只要求的特解,而得到(8) 的特解. 此解法雖然類似教材[5]上的待定係數法, 仔細斟酌, 要簡單很多. 教材[5]中則把特解設為,這裡k=0、1、2、是m 次多項式.
例3 求微分方程的乙個解.
解： , - 1 為其二重特徵根,
故原方程對應的齊次方程的兩個線性無關的解是。,從而令,原方程化為:,解之得其特解為故原方程的特解是。原方程的解是,
(其中是常數)
四階數上公升法
所謂的階數上公升法就是:設
9)為多項式時,設
[7]此時,方程兩邊同時對求導倒數,得
令(),此時
由與通過倒數第二個方程可得,依次往上推,一直推到方程(9) ,即可得到方程(9) 的乙個特解,上面的這種方法稱為階數上公升法.
(9) 當時,令,則
, 代入方程(9) ,經整理得:
於是問題(9) 就轉化為(8) 的形式.從以上可以看出,階數上公升法不需要討論λ是
否為特徵方程的特徵根的問題,因此問題得以簡化.
例4 求微分方程的乙個解.
解:原方程所對應的齊次方程的特根是正1、-7,對應的兩個線性無關的解是。在求原方程的特解。 先消去, 設特解 ,代入原方程得10)
兩邊求導得,令、，代入(10) 式得，即
所以原方程的乙個特解為:
所以，原方程的解為： (其中為常數)
五積分法
運用特解公式進行教學, 不需要對微分方程的特殊右端進行分類設特解,只需熟悉特解公式就可以求出任意型別的特解.下面我們介紹特解公式.
設λ是共軛特徵方程的任一根,則[7] 為方程(9) 的乙個特解,其表示函式f ( x) 的乙個原函式,積分下限可取任意值.即要求方程(9) 的特解先求出共軛特徵方程的特徵根,任取其一為,再用特徵公式求積分,便得到所求特解.
例5 求微分方程的通解.
解特徵方程的特徵根為,所以,齊次方程所對應的兩個線性無關的解是,共軛特徵方程的特徵根為,計算積分可得: x
即原方程的特解為:
所以,原方程的通解解是: (其中為常數)
一階微分方程的初等解法 常微分方程
第二章一階微分方程的初等解法 2 1 已知試求函式的一般表示式。解對方程，兩邊關於求導得，即 分離變數，可求得 代入原方程可得，從而的一般表示式為。評注 本題中常數的確定不能直接通過所給積分方程得到，而是需將通解代回原方程來確定。2 2 求具有性質的函式，已知存在。解由導數的定義可得 顯然可得，故 ...
一階常微分方程解法總結
一階微分方程的解法 一 可分離變數的方程 1 形如 當時，得到，兩邊積分即可得到結果 當時，則也是方程的解。例1.1 解 當時，有，兩邊積分得到 所以顯然是原方程的解 綜上所述，原方程的解為 2 形如 當時，可有，兩邊積分可得結果 當時，為原方程的解，當時，為原方程的解。例1.2 解 當時，有兩邊積...
二階變係數常微分方程求解方法的文獻綜述
文獻綜述 前言常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續保持著進一步發展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中。二階變係數常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術及力學和物理學中都有十分廣泛的應用。關於它的解結構己有十分完美的結論，但其求解方法卻各有不同，因此.二階變係數線性微分方程的...