1. 問題的提出
假設一階微分方程初值問題中的關於滿足lipschitz條件，即存在常數，使得，則由常微分方程理論知，初值問題有唯一解。
除了一些特殊型別的方程外，許多微分方程都沒有解析解。
2. 數值解法的基本思想——離散化
計算解在離散點上值的近似值，。
3. 幾個基本概念
(1) 單步法與多步法
若計算時只用到，則稱這種方法為單步法，如；若計算時需用到，則稱這種方法為多步法。
(2) 顯式與隱式
若可以直接用表示，則稱此計算公式為顯式，否則稱之為隱式。
1. euler公式
將在上積分，，得，用數值積分法求。
(1)，得。 euler公式
(2)，得。 後退的euler公式
(3)，
得。 梯形公式（隱式）
2. 改進的euler公式
euler公式計算簡便，但精度差，梯形公式為隱式，計算較複雜，但精度較高，可將兩者結合。
，稱為改進的euler公式，上式也可寫為
。例1 用euler公式和改進的euler公式求解初值問題
。解(貝努里方程，)，
。由，得，從而。
euler公式：。
改進的euler公式：。
1. taylor級數方法與階
對，有taylor級數，將此級數截斷，並用代替，得階taylor公式
。顯然截斷誤差為。
定義若某方法的截斷誤差為，則稱此方法精度為階。
2. runge-kutta方法基本思想，，
——平均斜率。
(1) 取，即為euler公式；
(2) 取，即為後退的euler公式；
(3) 取，即為梯形公式。
借用taylor級數法的思想，將中的(平均斜率)表示為在若干點處值的線性組合，通過選擇組合係數使公式達到一定的階。
3. 二階runge-kutta方法
選為在某兩點處值的線性組合，即，其中， ，待定。
將代入，得
。將上式與二階taylor公式對比，得（*）。
根據euler公式， ，代入得，，其中滿足（*）式，稱之為二階runge-kutta公式。
特別地，當時，
——改進的euler公式。
4. 四階runge-kutta方法
三階runge-kutta方法較少使用，仿二階runge-kutta方法，可得四階runge-kutta公式。經典的四階runge-kutta公式為
。特點 ①單步、自開始；②精度高，誤差為，四階；③數值穩定；④要計算四次函式值；⑤對解的光滑性要求高。
例2 用經典的四階r-k公式求解初值問題。
euler公式計算結果
改進的euler公式計算結果
四階runge-kutta公式計算結果
1. 收斂性
定義1 若某數值解法對固定的，當時（此時），，則稱此方法收斂。
例3 對典型方程考察euler方法的收斂性。
解 euler公式為。
，而，即，故收斂。
例4 用梯形方法解初值問題，證明其近似解為，並考察它的收斂性。
解顯然，初值問題的解為。，，
，故方法收斂。
定理若數值方法中的關於滿足lipschitz條件，則該方法收斂。
2. 穩定性
定義2 若某方法在節點值上有大小為的攝動，而其後各節點上的誤差均不超過，則稱此方法是穩定的。
例5 對方程考察euler公式和後退的euler公式的穩定性。
解對應的euler公式為。
若在上有攝動值，而它使產生的攝動值為，則。
顯然，即時，euler公式穩定，稱之為條件穩定。
後退的euler公式為，，而，即後退的euler公式無條件穩定。
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