2023年10月17日
實驗目的：
1．通過用matlab程式設計運用euler方法及其改進方法求解常微分方程初值問題，更進一步掌握常微分方程及其數值解法課程的理論內容，加深對數值解法的理解。
2．熟悉matlab程式設計環境。
實驗內容：
1.實驗題目
運用euler方法及其改進方法求解常微分方程初值問題，具體問題是。求滿足初值條件的解：。
2.設計思想
在能夠獲得精確解的題目抽取題目，分別應用euler方法、euler改進方法求解數值結果，將所得結果列表或者畫圖，參照精確結果，對euler方法、euler改進方法的計算誤差進行分析。
實驗原理:
euler方法：
euler改進方法：
1.euler方法程式：
%fun為目標函式字串
%x0為自變數初始值。
%y0為fun(x0);
%bou=[a,b]自變數區間
%h為步長
fun='(y+sin(x))/cos(x)';
bou=[1,6];
a=bou(1);
b=bou(2);
x0=1;
y0=1;
h=0.05;
n=ceil((b-a)/h);
xx=linspace(a,b,n+1)'; yy=zeros(1,n+1)';
lengthx=length(xx);
xx(1)=x0;yy(1)=y0
for i=2:n+1
x=xx(i-1);y=yy(i-1);
k=eval(fun
yy(i)=yy(i-1)+h*k
endys=dsolve('dy=(y+sin(x))/cos(x)','y(1)=1','x');
for i=1:lengthx
x=xx(i);
exacty(i)=eval(ys);
endyy=exacty';
yend=[xx,yy,yy]
p=plot(xx,yend(:,2),'k-o','linewidth',1,...
markeredgecolor','k',...
marke***cecolor','g',...
markersize',4);
hold on;
pp=plot(xx,yend(:,3),'r-.+','linewidth',0.8,...
markeredgecolor','r',...
marke***cecolor','m',...
markersize',6);
legend([p,pp],'eula','jiequejie');
2.euler改進方法程式
%fun為目標函式字串
%x0為自變數初始值。
%y0為fun(x0);
%bou=[a,b]自變數區間
%h為步長
fun='(y+sin(x))/cos(x)';
bou=[1,6];
a=bou(1);
b=bou(2);
x0=1;
y0=1;
h=0.05;
n=ceil((b-a)/h);
xx=linspace(a,b,n+1)'; yy=zeros(1,n+1)';
lengthx=length(xx);
xx(1)=x0;yy(1)=y0
for i =2:n+1
x=xx(i-1);y=yy(i-1);
k1=eval(fun);
x=xx(i);y=yy(i-1)+h*k1;
k2=eval(fun);
yy(i)=yy(i-1)+h/2*(k1+k2
endys=dsolve('dy=(y+sin(x))/cos(x)','y(1)=1','x');
for i=1:lengthx
x=xx(i);
exacty(i)=eval(ys);
endyy=exacty';
yend=[xx,yy,yy]
p=plot(xx,yend(:,2),'k-o','linewidth',1,...
markeredgecolor','k',...
marke***cecolor','g',...
markersize',4);
hold on;
pp=plot(xx,yend(:,3),'r-.+','linewidth',0.8,...
markeredgecolor','r',...
marke***cecolor','m',...
markersize',6);
legend([p,pp],'gjeula','jingquejie');
n=ceil((b-a)/h);
xx=linspace(a,b,n+1)'; yy=zeros(1,n+1
xx(1)=x0;yy(1)=y0;
實驗結果：
euler方法求解圖形
euler改進方法求解圖形
如圖所示，在處有奇點，euler改進方法更吻合。
實驗體會：
通過這次課內試驗學會了通過運用euler方法及其改進方法求解常微分方程初值問題，並畫出了圖形，感覺學會了很多。
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