課程設計報告
班級姓名學號
成績 2023年 6月 21 日
目錄一、摘要 1
二、常微分方程數值解 2
2.1 4階runge-kutta法和adams4階外插法的基本思路 2
2.2 演算法流程圖 2
2.3 用matlab編寫源程式 2
2.4 常微分方程數值解法應用舉例 4
三、 常係數擴散方程的經典差分格式 6
3.1 有限差分法的基本思路 6
3.2 演算法流程圖 7
3.3 用matlab編寫源程式 7
3.4 有限差分法應用舉例 8
四、 橢圓型方程的五點差分格式 10
4.1 五點差分法的基本思路 10
4.2 演算法流程圖 11
4.3 用matlab編寫源程式 11
4.4 五點差分法應用舉例 12
五、 自我總結 16
六、參考文獻 16
自然界與工程技術中的很多現象，可以歸結為微分方程定解問題。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基礎內容。但是，對於許多的微分方程，往往很難得到甚至不存在精確的解析表示式，這時候，數值解提供了乙個很好的解決思路。
，針對於此，本文對常微分方程數值解法進行了簡單研究，主要討論了一些常用的數值解法，如尤拉法、改進的尤拉法、runge—kutta方法、adams法以及橢圓型方程、拋物型方程的有限差分方法等，通過具體的算例，結合matlab求解畫圖，初步給出了一般常微分方程數值解法的求解過程。同時，通過對各種方法的誤差分析，讓大家對各種方法的特點和適用範圍有乙個直觀的感受。
關鍵詞：微分方程數值解、matlab
常微分方程數值解法(numerical methods forordinary differential equations)計算數學的乙個分支.是解常微分方程各類定解問題的數值方法.現有的解析方法只能用於求解一些特殊型別的定解問題，實用上許多很有價值的常微分方程的解不能用初等函式來表示，常常需要求其數值解.
所謂數值解，是指在求解區間內一系列離散點處給出真解的近似值.這就促成了數值方法的產生與發展.
常微分方程初值問題的數值解法是求方程（1）的解在點列上的近似值，這裡是到的步長，一般略去下標記為。
1） 經典的方法是乙個四階的方法，它的計算公式是：
2）方法的優點是：單步法、精度高，計算過程便於改變步長，缺點是計算量較大，每前進一步需要計算四次函式值。在用龍格庫塔方法時,要注意的選擇要合適，太大，會使計算量加大，太小，較大，可能會使誤差增大。
因此選擇合適的很重要。我們要在考慮精度的基礎上，選擇合適的。
2.2.1、四階龍格－庫塔（r-k）方法流程圖：
2.2.2、adams4階外插法流程圖：
2.2.3、例項求解流程：
matlab程式源**：
定義檔案
function dy = rk4 (x,y)
dy=zeros(3,1);
dy(1)=10*(-y(1)+y(2));
dy(2)=28*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);
dy(3)=y(1)*y(2)-8*y(3)/3;
end定義檔案
function [x,y,z]=adams4(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,h)
%adams外插法
kfy=0;ksy=0;kty=0;
kfz=0;ksz=0;ktz=0;
kfx=10*(y3-x3); %eval_r(abx);
kfy=x3*(28-z3)-y3;%eval_r(aby);
kfz=x3*y3-8/3*z3; %eval_r(abz);
ksx=10*(y2-x2);
ksy=x2*(28-z2)-y2;;
ksz=x2*y2-8/3*z2;
ktx=10*(y1-x1 );
kty=x1*(28-z1)-y1;
ktz=x1*y1-8/3*z1;
x=x3+h/12*(23*kfx-16*ksx+5*ktx);
y=y3+h/12*(23*kfy-16*ksy+5*kty);
z=z3+h/12*(23*kfz-16*ksz+5*ktz);
end定義檔案
[t,y]=ode45(rk4,[0,30],[12,2,9])
suptitle('runge-kutta4階法') %總標題
subplot(2,2,1);
plot(t,y(:,1));grid on;
legend('x關於t 的變化關係圖',1);
xlabel('t','fontsize',14);
ylabel('x','fontsize',14);
subplot(2,2,2);
plot(t,y(:,2));grid on;
legend('y關於t 的變化關係圖',1);
xlabel('t','fontsize',14);
ylabel('y','fontsize',14);
subplot(2,2,3)
plot(t,y(:,3));grid on;
legend('z關於t 的變化關係圖',1);
xlabel('t','fontsize',14);
ylabel('z','fontsize',14);
subplot(2,2,4)
plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3));grid on;
legend('x,y,z的空間關係圖',1);
xlabel('x','fontsize',14);
ylabel('y','fontsize',14);
zlabel('y','fontsize',14);
view(40,60); %鎖定同樣的檢視，便於比較
定義檔案
a=1:1:3000;b=1:1:3000;c=1:1:3000;
t=1:1:3000;
x1=5; y1=5; z1=10;
x2=7.83; y2=14.30; z2=12.34;
x3=15.32; y3=22.87; z3=28.07;
for i=1:1:3000
[x,y,z]=adams4(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,0.01);
a(i)=x;b(i)=y;c(i)=z;
x1=x2;y1=y2;z1=z2;
x2=x3;y2=y3;z2=z3;
x3=x;y3=y;z3=z;
fprintf('x=%f''y=%f''z=%f\n',x,y,z);%顯示迭代值
endsuptitle('adams4階外插法') %總標題
subplot(2,2,1);
plot(t,a);grid on;
legend('x關於t 的變化關係圖',1);
xlabel('t','fontsize',14);
ylabel('x','fontsize',14);
subplot(2,2,2);
plot(t,b);grid on;
legend('y關於t 的變化關係圖',1);
xlabel('t','fontsize',14);
ylabel('y','fontsize',14);
subplot(2,2,3);
plot(t,c);grid on;
legend('z關於t 的變化關係圖',1);
xlabel('t','fontsize',14);
ylabel('z','fontsize',14);
subplot(2,2,4)
plot3(a,b,c);grid on;
legend('x,y,z的空間關係圖',1);
xlabel('x','fontsize',14);
常微分方程數值解實驗報告
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MATLAB實驗報告 常微分方程數值解
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