一、 基本概念
微分方程、方程的階、方程的解、通解、特解、初始條件、積分曲線、階線性微分方程等.
二、 一階微分方程
1. 可分離變數的微分方程
1 定義：形如的方程.
2 解法：分離變數，兩邊同除，得，再積分可
得通解為．
2. 齊次方程
①定義：形如的方程.
解法：令，則，於是，原方程化為，整理為，積分為，再將代回可得通解．
注：齊次方程並非只此一種，比如也是齊次方程，只需將用其
他變數代換即可.
3.一階線性微分方程
1 定義：形如的方程.
2 解法：常數變易法：方程通解.
3 伯努利方程
（i）定義：形如的方程.
（ii）解法：方程兩側同除得，令，則，代入方程化為，是一階線性微分方程，由常數變易法可得通解，再將代回即可.
4.全微分方程
定義：對方程，若存在使得
，稱為全微分方程.
注：若為全微分方程，則.
②解法：為通解.求法如下：
（i） 線積分（或偏積分）法：或
；（ii） 分項組合法（湊全微分法）：把本身已構成全微分的項分出來，其餘的項湊成全微分.
3 含積分因子的微分方程
（i） 定義：若，但存在使得，即
為全微分方程，稱
為積分因子.
（ii） 解法：只需求出積分因子構成全微分方程即可得通解.求積分因子方法：
a. 觀察法：常用全微分形式：
b. 兩個特殊的積分因子：
a. 若僅與有關，則方程可有積分因子；
b. 若僅與有關，則方程可有積分因子.
5. 一階微分方程的解題程式
①審視方程，判斷方程型別；
②根據不同型別，確定解題方案.
三、 高階微分方程
1. 可降階的高階方程
①型：積分次，可得通解.
②型：不顯含的二階方程，令，則原方程化為
是一階方程，設其解為，即，則原方程的通解為.
③型：不顯含的二階方程，令，把看作的函式，則
把、的表示式代入原方程，得 ，是一階方程， 設其解為，即
則原方程的通解為.
2. 高階線性微分方程
1 定義：方程①稱為非齊次線性微分方程；方
程②稱為相應於方程①的齊次線性微分方程．
2 通解結構
定理1 設是方程②的個線性無關解，則方程②的通解為
，其中為獨立的任意常數．
定理2 設是方程①的乙個特解，是方程②的個線性無關解，則方程①的通解為，其中是獨立的任意常數．
定理3 右端為的線性非齊次方程①的特解等於具有同一左端，右端分別為的方程①的特解的和．
3. 二階常係數齊次線性微分方程
1 定義：方程③稱為二階常係數齊次線性微分方程，其中均
為常數.
②解法：特徵方程：，
（i）當為相異的特徵根時，方程③通解為；
（ii）當時，通解為；
（iii） 當（復根）時，通解為．
4. 二階常係數非齊次線性微分方程
①定義：方程④稱為二階常係數非齊次線性微分方程，其中
均為常數.
2 解法：方程④所對應的齊次方程是方程③，通解是，只需找到非齊次方程
④的特解與相加即為④的通解.求法如下：
（i） 若，其中為的次多項式，則，其中是次多項式，；
（ii） 若，其中、分別為的、次多項式，則，其中、是次多項式，，
.5. 尤拉方程
1 定義：各項未知函式導數的階數與乘積因子自變數的方次數相同的方程，即
形如的方程稱為尤拉方程，其中為常數．
②解法：令，即，把看作的函式，則，
於是尤拉方程化為
，是常係數線性微分方程，解出；則就是尤拉方程的解．
微分方程應用
目錄摘要 1 1 引言 2 2 常微分方程模型 2 2.1 建立常微分方程模型的方法和步驟 2 3 常微分方程模型示例 5 3.1 紅綠燈問題 5 3.2廣告模型 8 4 總結 10 參考文獻 11 常微分方程是在17世紀伴隨著微積分而發展起來的一門具有重要應用價值的學科.它是研究連續量變化規律的重...
常微分方程
第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...
高階微分方程
教學目標 1.理解高階線性微分方程的一般理論，n階齊次 非齊次 線性微分方程解的性質與結構，熟練掌握n階常係數齊次線性微分方程的待定指數函式解法。2.掌握n階非齊次線性微分方程的常數變易法，理解n階常係數非齊次線性微分方程特解的待定係數法和laplce變換法。3.熟練尤拉方程與高階方程的降階法和冪級...