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1、 首先通過幾個具體的問題來給出微分方程的基本概念。
（1）一條曲線通過點（1，2），且在該曲線上任一點m（x,y）處的切線的斜率為2x，求這條曲線的方程。
解設曲線方程為.由導數的幾何意義可知函式滿足
1）同時還滿足以下條件：
時2） 把（1）式兩端積分，得
即3）其中c是任意常數。
把條件（2）代入（3）式，得
，由此解出c並代入（3）式，得到所求曲線方程：
4） （2）列車在平直線路上以20的速度行駛；當制動時列車獲得加速度.問開始制動後多少時間列車才能停住，以及列車在這段時間裡行駛了多少路程？
解設列車開始制動後t秒時行駛了s公尺。根據題意，反映制動階段列車運動規律的函式滿足：
5）此外，還滿足條件：
時6） (5)式兩端積分一次得：
7）再積分一次得
8）其中都是任意常數。
把條件「時」和「時」分別代入（７）式和（８）式，得
把的值代入（7）及（8）式得
9）10）
在（9）式中令，得到列車從開始制動到完全停止所需的時間：
。再把代入（10）式，得到列車在制動階段行駛的路程
上述兩個例子中的關係式（1）和（5）都含有未知函式的導數，它們都是微分方程。
2、 定義一般地，凡表示未知函式、未知函式的導數與自變數之間的關係到的方程，叫做微分方程。未知函式是一元函式的方程叫做常微分方程；未知函式是多元函式的方程，叫做偏微分方程。本章只討論常微分方程。
微分方程中所出現的求知函式的最高端導數的階數，叫做微分方程的階。例如，方程（1）是一階微分方程；方程（5）是二階微分方程方程。又如，方程
是四階微分方程。
一般地，階微分方程的形式是
11）其中f是個變數的函式。這裡必須指出，在方程（11）中，是必須出現的，而
等變數則可以不出現。例如階微分方程
中，除外，其他變數都沒有出現。
如果能從方程（11）中解出最高端導數，得微分方程
12）以後我們討論的微分方程都是已解出最高端導數的方程或能解出最高端導數的方程，且（12）式右端的函式在所討論的範圍內連續。
由前面的例子我們看到，在研究某些實際問題時，首先要建立微分方程，然後找出滿足微分方程的函式，就是說，找出這樣的函式 ，把這函式代入微分方程能使該方程成為恒等式。這個函式就叫做該微分方程的解。確切地說，設函式在區間上有階連續導數，如果在區間上，
那麼函式就叫做微分方程（11）在區間上的解。
例如，函式（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函式（8）和（10）都是微分方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常數，且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解叫做微分方程的通解。例如，函式（3）是方程（1）的解，它含有乙個任意常數，而方程（1）是一階的，所以函式（3）是方程（1）的通解。又如，函式（8）是方程的解，它含有兩個任意常數，而方程（5）是二階的，所以函式（8）是方程（5）的通解。
由於通解中含有任意常數，所以它還不能完全確定地反映某一客觀事物的規律性，必須確定這些常數的值。為此，要根據問題的實際情況提出確定這些常數的條件。例如，例1中的條件（2），例2中的條件（6），便是這樣的條件。
設微分方程中的未知函式為，如果微分方程是一階的，通常用來確定任意常數的條件是
時，，或寫成
其中，都是給定的值；如果微分方程是二階的，通常用來確定任意常數的條件是：
時，，或寫成其中，和都是給定的值。上述條件叫做初始條件。
確定了通解中的任意常數以後，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）滿足條件（2）的特解；（10）式是方程（5）滿足條件（6）的特解。
求微分方程滿足初始條件的特解這樣乙個問題，叫做一階微分方程的初值問題，記作
13） 微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線。初值問題（13）的幾何意義是求微分方程的通過點的那條積分曲線。二階微分方程的初值問題
的幾何意義是求微分方程的通過點且在該點處的切線斜率為的那條積分曲線。
3、 例題
例1 驗證：函式
14）是微分方程
15）的解。
解求出所給函式（14）的導數
把及的表示式代入方程（15）得
+函式（14）及其導數代入方程（15）後成為乙個恒等式，因此函式（14）是微分方程（15）的解。
小結：本節講述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始問題
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學習目的：熟練掌握可分離變數的微分方程的解法
學習重點：可分離變數的微分方程的解法
學習難點：可分離變數的微分方程的解法
學習內容：
本節開始,我們討論一階微分方程
1)的一些解法.
一階微分方程有時也寫成如下的對稱形式:
2)在方程(2)中,變數與對稱,它既可以看作是以為自變數、為未知函式的方程
,也可看作是以為自變數、為未知函式的方程
,在第一節的例1中，我們遇到一階微分方程，或
把上式兩端積分就得到這個方程的通解：
。但是並不是所有的一階微分方程都能這樣求解。例如，對於一階微分方程
3）就不能像上面那樣直接兩端用積分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函式積分
求不出來。為我解決這個困難，在方程（3）的兩端同時乘以，使方程（3）變為
，這樣，變數與已分離在等式的兩端，然後兩端積分得
或4）其中c是任意常數。
可以驗證，函式（4）確實滿足一階微分方程（3），且含有乙個任意常數，所以它是方程（3）的通解。
一般地，如果乙個一階微分方程能寫成
5）的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含的函式和，另一端只含的函式和，那麼原方程就稱為可分離變數的微分方程。
假定方程（5）中的函式和是連續的，設是方程的解，將它代入（5）中得到恒等式
將上式兩端積分，並由引進變數，得
設及依次為和的原函式，於是有
6）因此，方程（5）滿足關係式（6）。反之，如果是由關係到式（6）所確定的隱函式 ，那麼在的條件下，也是方程（5）的解。事實上，由隱函式的求導法可知，當時，
這就表示函式滿足方程（5）。所以如果已分離變數的方程（5）中和是連續的，且，那麼（5）式兩端積分後得到的關係式（6），就用隱式給出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隱式解。又由於關係式（6）中含有任意常數，因此（6）式所確定的隱函式是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隱式通解。
例1 求微分方程
7）的通解。
解方程（7）是可分離變數的，分離變數後得
兩端積分得從而
又因為仍是任意常數，把它記作c便得到方程（7）的通解
。 例2 放射性元素鈾由於不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減少，這種現象叫做衰變。由原子物理學知道，鈾的誤變速度與當時未衰變的原子的含量m成正比。
已知時鈾的含量為，求在衰變過程中含量隨時間變化的規律。
解鈾的衰變速度就是對時間的導數。由於鈾的衰變速度與其含量成正比，得到微分方程如下
8）其中是常數，叫做衰變係數。前的負號是指由於當增加時m單調減少，即的緣故。
由題易知，初始條件為
方程（8）是可以分離變數的，分離後得
兩端積分
以表示任意常數，因為，得
即是方程（8）的通解。以初始條件代入上式，解得
故得由此可見，鈾的含量隨時間的增加而按指數規律衰落減。
小結：本節講述了一階微分方程中可分離變數的微分方程，及其解法。
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學習目的：熟練掌握齊次微分方程的解法
學習重點：齊次方程的解法
學習難點：齊次方程的解法
學習內容：
1、 齊次方程的形式
如果一階微分方程
中的函式可寫成的函式，即，則稱這方程為齊次方程。例如
是齊次方程，因為其可化為
2、 齊次方程
1）的解法。
作代換，則，於是從而，
分離變數得
兩端積分得
求出積分後，再用代替，便得所給齊次方程的通解。如上例
分離變數，得
一階常微分方程解法總結
一階微分方程的解法 一 可分離變數的方程 1 形如 當時，得到，兩邊積分即可得到結果 當時，則也是方程的解。例1.1 解 當時，有，兩邊積分得到 所以顯然是原方程的解 綜上所述，原方程的解為 2 形如 當時，可有，兩邊積分可得結果 當時，為原方程的解，當時，為原方程的解。例1.2 解 當時，有兩邊積...
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