1.幾個基本定義
（1）微分方程:凡含有未知函式的導數或微分的方程叫微分方程.
實質: 聯絡自變數,未知函式以及未知函式的某些導數(或微分)之間的關係式.
分類1: 常微分方程： 未知函式為一元函式
偏微分方程： 未知函式為多元函式
分類2:
微分方程的階: 微分方程中出現的未知函式的最高端導數的階數稱之.
一階微分方程
高階微分方程
分類3: 線性與非線性微分方程.
分類4: 單個微分方程與微分方程組.
（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函式稱之.
微分方程的解的分類：
1 通解: 微分方程的解中含有任意常數,且任意常數的個數與微分方程的階數相同.
2 特解: 確定了通解中任意常數以後的解.
（3）解的圖象: 微分方程的積分曲線.
通解的圖象: 積分曲線族.
（4）初始條件: 用來確定任意常數的條件.
初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.
一階: 過定點的積分曲線;
二階: 過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.
2.可分離變數的微分方程
可分離變數微分方程的形式
解法：設函式和是連續的, 設函式和是依次為和的原函式, 為微分方程的解.
3.齊次方程
形如的微分方程稱為齊次方程.
解法：作變數代換
代入原式即（可分離變數的方程）
（1）（2）
4．可化為齊次的方程
定義為齊次方程.否則為非齊次方程.
解法：（其中和是待定的常數）
（1）有唯一一組解. 得通解代回
（2）可分離變數.
5.其它型別：通過變數代換化為可分離變數方程
方程化為
代入方程得
則代入方程得
則代入方程得
6.線性方程
一階線性微分方程的標準形式:
上方程稱為齊次的. 上方程稱為非齊次的.
例如線性的;
非線性的。
一階線性微分方程的解法
（1）線性齊次方程 (使用分離變數法)
齊次方程的通解為
（2）線性非齊次方程
討論兩邊積分
非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:
作變換積分得
一階線性非齊次微分方程的通解為:
對應齊次方程通解非齊次方程特解
7.伯努利方程
伯努利(bernoulli)方程的標準形式
方程為線性微分方程. 方程為非線性微分方程.
解法:需經過變數代換化為線性微分方程.
代入上式
求出通解後，將代入即得
8.可降階高階微分方程
（1）型的微分方程
方程特點：方程右端僅含有自變數
只需積分兩次就可以得到方程的通解.
這種逐次積分的方法可以用於解更高階的方程
依次通過次積分, 可得含個任意常數的通解 .
（2）型的微分方程
方程特點：方程右端不顯含未知函式
設則原方程化為（一階微分方程）
設其通解為
再一次積分, 得原方程的通解
（3）型的微分方程
方程特點：右端不顯含自變數
令故方程化為（一階微分方程）設其通解為即得
分離變數後積分, 得原方程的通解
9.線性方程解的結構
（1）階線性非齊次微分方程
（2）相應的齊次微分方程為
10.二階齊次方程解的結構:
此性質稱為解的線性性質
為解決通解的判別問題。下面引入函式的線性相關與線性無關概念.
定義：設為定義在區間內的個函式．如果存在個不全為零的常數，使得當在該區間內有恒等式成立，
那麼稱這個函式在區間內線性相關．否則稱線性無關。
特別的：若在上有則函式與在上線性無關
定理2：如果與是方程(1)的兩個線性無關的特解, 那麼就是方程(1)的通解.
例如定理3. 的解，則解的實部
11.二階非齊次線性方程的解的結構:
定理4.設是二階非齊次線性方程的乙個特解, 是與(2)對應的齊次方程(1)的通解,那麼是二階非齊次線性微分方程(2)的通解.
定理5.設非齊次方程(2)的右端是幾個函式之和,
如而與分別是方程,
的特解,那麼就是原方程的特解.
定理6. 的解，則解的實部和虛部分別是方程和的解，其中都是實數。
12.常數變易法
設對應齊次方程通解為 （3）
設非齊次方程通解為
設即 (5)
(4),(5)聯立方程組
積分可得
非齊次方程通解為
13.定義
階常係數線性微分方程的標準形式
二階常係數齊次線性方程的標準形式
二階常係數非齊次線性方程的標準形式
14.二階常係數齊次線性方程解法 (特徵方程法)
將其代入上方程, 得故有
特徵根1 有兩個不相等的實根特徵根為
兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為
2 有兩個相等的實根特徵根為
一特解為
得齊次方程的通解為
3 有一對共軛復根特徵根為
下面討論實數形式的解：(尤拉(euler)公式)
重新組合
得齊次方程的通解為
綜上所述：
15. 階常係數齊次線性方程解法
特徵方程為
16.待定係數法
（1）首先求相應齊次方程的特徵根，確定的形式。
（2）設非齊方程特解為代入原方程
根據多項式恒等，確定待定係數。
特別地17.線性常係數非齊次方程
(1) 型
二階常係數非齊次線性方程
對應齊次方程通解結構
常見型別
解法：設非齊方程特解為代入原方程①②
③上述結論可推廣到階常係數非齊次線性微分方程（是重根次數）.
（2）方法一：
注意：上述結論可推廣到階常係數非齊次線性微分方程.
方法二：
（3）階線性常係數非齊次方程
二階方程的待定係數法可以推廣用來求解階方程，只需根據與特徵根的重數關係把特解形式作相應的修改。
（4）尤拉方程
形如的方程(其中為常數)叫尤拉方程
特點：各項未知函式導數的階數與乘積因子自變數的方次數相同．
解法：尤拉方程是特殊的變係數方程，通過變數代換可化為常係數微分方程
作變數變換
將自變數換為
用表示對自變數求導的運算
上述結果可以寫為
一般地，將上式代入尤拉方程，則化為以為自變數的常係數線性微分方程.求出這個方程的解後，把換為，即得到原方程的解.
18.常係數線性微分方程組
（1）微分方程組：由幾個微分方程聯立而成的方程組稱為微分方程組．
注意：這幾個微分方程聯立起來共同確定了幾個具有同一自變數的函式．
（2）常係數線性微分方程組微分方程組中的每乙個微分方程都是常係數線性微分方程叫做常係數線性微分方程組．
（3）常係數線性微分方程組的解法
步驟:①從方程組中消去一些未知函式及其各階導數，得到只含有乙個未知函式的高階常係數線性微分方程．
②解此高階微分方程,求出滿足該方程的未知函式.
③把已求得的函式帶入原方程組,一般說來，不必經過積分就可求出其餘的未知函式．
常微分方程
第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...
常微分方程
一 單項選擇題 1.下列四個微分方程中,三階常微分方程有 個 12 34 a.1b.2c.3d.4 a.n階常係數非齊線性常微分方程 b.n階變係數非齊線性常微分方程 c.n階變係數非線性常微分方程d.n階常係數非線性常微分方程.3.微分方程的乙個解是 abcd.4.是某個初值問題的唯一解，其中方程...
常微分方程中常用的解題方法
1 變數分離法，一階常微分方程求解有兩個重要的方法 一是變數分離方法，二是全微分方程及積分因子的方法。其中前者是通過適當的變形及變換，將自變數 自變數的微分和因變數的微分分別置於方程的兩端，然後分別進行積分即可得方程的通解後者則是尋求適當的積分因子，將方程化為通解的恰當方程，進一步得通解。如求方程的...