**一階微分方程的解法
一、可分離變數的方程
（1）、形如
當時，得到，兩邊積分即可得到結果；
當時，則也是方程的解。
例1.1、
解：當時，有，兩邊積分得到
所以顯然是原方程的解；
綜上所述，原方程的解為
（2）、形如
當時，可有，兩邊積分可得結果；
當時，為原方程的解，當時，為原方程的解。
例1.2、
解：當時，有兩邊積分得到
，所以有；
當時，也是原方程的解；
綜上所述，原方程的解為。
2、可化為變數可分離方程的方程
（1）、形如
解法：令，則，代入得到為變數可分離方程，得到再把u代入得到。
（2）、形如
解法：令，則，代入得到為變數可分離方程，得到再把u代入得到。
（3）、形如
解法：、，轉化為，下同①；
、，的解為，令
得到，，下同②；
還有幾類：
以上都可以化為變數可分離方程。
例2.1、
解：令，則，代入得到，有
所以，把u代入得到。
例2.2、
解：由得到，令，有，代入得到
，令，有，代入得到，化簡得到，，有，所以有，故代入得到
3、一階線性微分方程
一般形式：
標準形式：
解法：1、直接帶公式：
2、積分因子法：
， 3、ivp：，
例3、解：化簡方程為：，則
代入公式得到
所以，四、恰當方程
形如解法：先判斷是否是恰當方程：
如果有恆成立，那麼原方程是個恰當方程，找出乙個 ,
有；例4、
解：由題意得到，
由得到，原方程是乙個恰當方程；
下面求乙個
由得，兩邊對y求偏導得到，得到，有，
故，由，得到
五、積分因子法
方程，那麼稱是原方程的積分因子；積分因子不唯一。
（1）當且僅當，原方程有只與x有關的積分因子，且為，兩邊同乘以，化為恰當方程，下同(4)。
（2）當且僅當，原方程有只與y有關的積分因子，且為，兩邊同乘以，化為恰當方程，下同(4)。
例5.1、
解：由得，且有，有，原方程兩邊同乘，得到化為，得到解為
例5.2、
解:由題意得到，，有
有，有，原方程兩邊同乘，得到，得到原方程的解為：
六、貝努力方程
形如,解法：令，有，代入得到，下同（3）
例6、解：令，有，代入得到，則，
有，，把u代入得到.
七、一階隱式微分方程
一般形式：，解不出的稱為一階隱式微分方程。
下面介紹四種型別：
①、形如，
一般解法：令，代入得到，兩邊對x求導得到，這是關於x，p的一階線性微分方程，仿照(3)，
1、得出解為，那麼原方程的通解為
2、得出解為，那麼原方程的通解為
3、得出解為，那麼原方程的通解為
②、形如
一般解法：令，代入有，兩邊對y求導，得到，此方程是一階微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解，那麼原方程的通解為
③、形如
一般解法：設，，兩邊積分得到，於是有原方程的通解為
④、形如
一般解法：設，由關係式得，有，兩邊積分得到，於是有
例7.1
解：令，得到，兩邊對y求導，得到，
有，得到，於是通解為
例7.2
解：令，得到，兩邊對x求導，得到，有
，兩邊積分得到，於是通解為
例7.3
解：設有，所以
於是通解為
例7.4
解：設有，所以
於是通解為
八、裡卡蒂方程
一般形式：
一般解法：先找出乙個特解，那麼令，有，代入原方程得到 ，
化簡得到 ，為一階線性微分方程，解出
那麼原方程的通解為
例8 解：我們可以找到乙個特解，驗證：，代入滿足原方程。
令，，代入有，
化簡得到，，所以有
所以原方程的解為或
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