章節題目
第四節一階線性微分方程
一階線性微分方程的標準形式及其解法伯努利(bernoulli)方程的標準形式及其解法
內容提要
一階線性微分方程的解法及解的結構重點分析
常數變易法
用變數代換法求解微分方程難點分析
習題布置
p3481（單）、3、6、7（單）、9（單）備註1教學內容
一、線性方程
一階線性微分方程的標準形式:
dydx
p(x)yq(x)
當q(x)0,上方程稱為齊次的.當q(x)0,上方程稱為非齊次的.
例如dydx
yx,2
dxdt
xsintt,線性的;
2yy2xy3,ycosy1,非線性的.
一階線性微分方程的解法1.線性齊次方程dyydydx
p(x)y0.(使用分離變數法)
p(x)dx,
dyyp(x)dx,
lnyp(x)dxlnc,
p(x)dx
齊次方程的通解為yce.
2.線性非齊次方程
dydydx
p(x)yq(x).
討論q(x)
p(x)dx,yy
兩邊積分lny
q(x)y
dxp(x)dx,
p(x)dx,
設q(x)y
dx為v(x),lnyv(x)
即yev(x)
ep(x)dx
.非齊次方程通解形式
與齊次方程通解相比:cu(x)
常數變易法：把齊次方程通解中的常數變易為待定函式的方法.
實質:未知函式的變數代換.新未知函式
u(x)原未知函式
y(x),
2p(x)dx
作變換yu(x)e
p(x)dxp(x)dxyu(x)eu(x)[p(x)]e,將y和y代入原方程得
p(x)dx
u(x)eq(x),
積分得u(x)q(x)ey[q(x)e
p(x)dx
p(x)dx
dxc,
一階線性非齊次微分方程的通解為:
p(x)dx
dxc]e
p(x)dxp(x)dxp(x)dx
ceeq(x)edxp(x)dx
對應齊次方程通解ce
p(x)dxp(x)dx
eq(x)ed非齊次方程特解
例1求方程y解p(x)1xy
sinxxsinxx
的通解.
1x,q(x),
11sinxxdxsinxlnxxdxelnxyeedxcedxcxx
1xsinxdxc1cosxc.
x例2如圖所示，平行與y軸的動直線被曲線yf(x)與yx3(x0)截下的線段pq之長數值上等於陰影部分的面積,求曲線f(x).解x0
f(x)dx(xy),232
x0ydxxy,
3兩邊求導得yy3x,解此微分方程
dxdx2
yec3xedxcex
3x6x6,
2由y|x00,得c6,
所求曲線為y3(2e
xx2x2).23
二、伯努利方程
伯努利(bernoulli)方程的標準形式dydx
p(x)yq(x)y(n0,1)
n方程為線性微分方程.當n0,1時，
方程為非線性微分方程.當n0,1時，
解法:需經過變數代換化為線性微分方程.
兩端除以y，得y令zy1nn
ndydx
p(x)yn1n
q(x),
,則dzdx
(1n)y
dydx
，代入上式
dzdx
(1n)p(x)z(1n)q(x),
求出通解後，將zy1n代入即得y
1n(1n)p(x)dx(1n)p(x)dxze(q(x)(1n)edxc).
例3求方程
dydx
4xyx
2y的通解.
解兩端除以yn，得
dzdx
4x1dyydx
zx,2
4xyx,
2令zy,2
4x2x
解得zxc,即yxc.222
例4用適當的變數代換解下列微分方程:1.
2yy2xyxe
12xex2
2x2;解yxy
令zydzdx
1(1)
y,dzdx
2ydydx,
1y,則x2
22xzxe
22xdx2xdxx
,ze[xeedxc]
所求通解為ye2x2
(x22yx
c).2.
dydx
1xsin(xy)2;
4解令zxy,則dzdx
dzdx
yxdydx
,yx(
1xsin(xy)2yx
)1sin2z
,分離變數法得2zsin2z4xc,將zxy代回,所求通解為2xysin(2xy)4xc.
dydx
1xy3.;
dydudx
解令xyu,則
dxdu1
1,代入原式dxu
1,分離變數法得uln(u1)xc,將uxy代回,所求通解為yln(xy1)c,或xc1ey1
y另解方程變形為
三、小結
dxdy
xy.1.齊次方程yf()令yxu;
xp(x)dx
2.線性非齊次方程令yu(x)e;
y3.伯努利方程令y
1nz;
5思考題
求微分方程y
思考題解答dxdy
cosysin2yxsiny
cosy
sin2yxtany,
cosy
cosysin2yxsiny
的通解.
dxdy
tanyxsin2y,
xelncosy
sin2ye
cosy
lncosy
dyccosy
2sinycosy
dyccosyc2cosy.6
一階微分方程的初等解法 常微分方程
第二章一階微分方程的初等解法 2 1 已知試求函式的一般表示式。解對方程，兩邊關於求導得，即 分離變數，可求得 代入原方程可得，從而的一般表示式為。評注 本題中常數的確定不能直接通過所給積分方程得到，而是需將通解代回原方程來確定。2 2 求具有性質的函式，已知存在。解由導數的定義可得 顯然可得，故 ...
第三節一階線性微分方程
內容要點 一 一階線性微分方程 形如3.1 的方程稱為一階線性微分方程.其中函式 是某一區間上的連續函式.當方程 3.1 成為 3.2 這個方程稱為一階齊次線性方程.相應地，方程 3.1 稱為一階非齊次線性方程.方程 3.2 的通解 3.3 其中為任意常數.求解一階非齊次線性微分方程的常數變易法 即...
一階常微分方程解法總結
一階微分方程的解法 一 可分離變數的方程 1 形如 當時，得到，兩邊積分即可得到結果 當時，則也是方程的解。例1.1 解 當時，有，兩邊積分得到 所以顯然是原方程的解 綜上所述，原方程的解為 2 形如 當時，可有，兩邊積分可得結果 當時，為原方程的解，當時，為原方程的解。例1.2 解 當時，有兩邊積...