第六章常微分方程
常微分方程是高等數學中理論性和應用性都較強的一部分，是描述客觀規律的一種重要方法，是處理物理、力學、幾何等應用問題的乙個重要工具，微分和積分的知識是研究微分方程的基礎。微分方程作為考試的重點內容，每年研究生考試均會考到。特別是微分方程的應用問題，既是重點，也是難點，在複習時必須有所突破。
【大綱內容】常微分方程的基本概念；變數可分離的方程；齊次方程；一階線性方程；伯努利（bernoulli）方程；全微分方程；可用簡單的變數代換求解的某些微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質及解的結構定理；二階常係數齊次線性微分方程；高於二階的某些常係數齊次線性微分方程；簡單的二階常係數非齊次線性微分方程；尤拉（euler）方程；微分方程的簡單應用。
【大綱要求】要理解微分方程的有關概念，如階、解、通解、特解、定解條件等，掌握幾類方程的解法：如變數可分離方程，齊次方程，一階線性微分方程，伯努利方程，可降階方程等。理解線性微分方程解的性質和解的結構，掌握求解常係數齊次線性方程的方法，掌握求解某些自由項的常係數非齊次線性方程的待定係數法。
了解尤拉方程的概念，會求簡單的尤拉方程。會用微分方程處理物理、力學、幾何中的簡單問題。
【考點分析】本章包括三個重點內容：
1．常見的一階、二階微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判斷方程為哪種型別，並記住解法的推導過程。
2．微分方程的應用問題，這是乙個難點，也是重點。利用微分方程解決實際問題時，若是幾何問題，要根據問題的幾何特性建立微分方程。若是物理問題，要根據某些物理定律建立微分方程，也有些問題要利用微元法建立微分方程。
3．數學三要求掌握一階常係數線性差分方程的求解方法，了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，會用差分方程求解簡單的經濟應用問題。
【考點一】形如的一階微分方程稱為變數可分離微分方程。可分離變數的微分方程的解題程式：
當，然後左、右兩端積分
上式即為變數可分離微分方程的通解。其中，c為任意常數，的乙個原函式，表示函式的乙個原函式.
【例1】若連續函式滿足關係式，則等於
（a）（b）（c）（d）
【例2】已知曲線處的切線斜率為則.
【例3】求下列微分方程的解
1、 2、 3、
【考點二】形如的微分方程稱為齊次方程。其解法是固定的：令，則，代入得 .分離變數，得。兩端積分，得，求出積分後，將換成，即得齊次方程的通解
【例5】求下列微分方程的通解.
1、2、
34、【考點三】1. 形如的微分方程稱為一階線性非齊次微分方程，其通解公式為： .
【評注】由於一階微分方程的通解只包含乙個任意常數c,因此通解公式中的積分，只表示其中乙個任意的原函式，不含任意常數c。
2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推導公式的方法求解。
3. 通解公式的記憶方法：一階線性非齊次微分方程等價於即
兩邊積分得即
【例6】設為連續函式，（1）求初值問題
的解，其中是正常數；（2）若（為常數）。
證明：當時，有
【例7】求下列微分方程的通解.
1、，2、 3、
【例8 】設f(x)=f(x)g(x), 其中函式f(x),g(x)在內滿足以下條件：，，且f(0)=0,
(1) 求f(x)所滿足的一階微分方程；
(2) 求出f(x)的表示式.
【例9】設連續，求解方程.
【例10】過點且滿足關係式的曲線方程為.
【例11】求微分方程的乙個解，使得由曲線與直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周的旋轉體體積最小。
【例12】函式且滿足等式
（1）求導數；
（2）證明：當
【考點四】二階常係數齊次線性微分方程:
1．標準形式：，均為常數。
2．通解公式：①特徵方程為；
②若特徵方程有互異實根，則通解為；
③若特徵方程有相等實根，則通解為；
④若特徵根為共軛復根（為常數，），
則通解為
【例13】求下列微分方程的解
1、 2、 3、
【例14】設（為任意常數）為某二階常係數線性齊次微分方程的通解，則該方程為
【考點六】二階常係數非齊次線性微分方程：
1．大綱要求：會解自由項為多項式，指數、函式、正弦函式、余弦函式，以及它們的和與積的二階常係數非齊次線性微分方程。
2．二階常係數非齊次線性微分方程的一般形式是：，其中為常數，若特解為，對應的齊次微分方程的通解為，則原方程的通解為
。3．求二階線性常係數非齊次微分方程的待定係數法：
①設，其中是次多項式，設特解
，其中也是次多項式，當不是的單特徵根時，；當是的重特徵根時，，再設，將代入微分方程，兩端比較同次冪係數，就可求出符定係數。
②設其特解為
其中，而按（或）不是特徵方程的根據或是特徵方程的單根依次取0或1。
4．求二階線性常係數非齊次微分方程的常數變易法：
設，且對應齊欠微分方程
的通解為，其中為任意常數。將
換成函式，保持不變，即令
是的通解，其中是待定係數。函式的求法如下：
先求方程組
解出與，再積分就可得出與代入得
就是原方程的通解。
【例15】求下列微分方程的通解
1、 2、 3、
【例16】設在上連續，且，求
【例17】設，其中連續，求滿足條件的
【例18】設函式在內連續，，且對所有的，滿足條件，求
高等數學單元自測題常微分方程
高等數學 單元自測題答案 第六章常微分方程 一 填空題 1 2 3 二 選擇題 1 b 2 a 3 b。三 求下列微分方程的通解 1 解分離變數得，兩邊同時積分 即。所以，其中是任意常數。2 解令，則，代入方程得 即 所以，解得，從而，其中是任意常數。3 解方程變形為，所以，可得 其中是任意常數。4...
常微分方程
第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...
常微分方程
一 單項選擇題 1.下列四個微分方程中,三階常微分方程有 個 12 34 a.1b.2c.3d.4 a.n階常係數非齊線性常微分方程 b.n階變係數非齊線性常微分方程 c.n階變係數非線性常微分方程d.n階常係數非線性常微分方程.3.微分方程的乙個解是 abcd.4.是某個初值問題的唯一解，其中方程...