第一章緒論
§1.2微分方程的基本概念
（1）常微分方程偏微分方程
微分方程：凡含有未知函式的導數或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函式為一元函式的微分方程。
偏微分方程：未知函式為多元函式，從而出現偏導數的微分方程。
（2）線性與非線性
一般n階線性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）
（3）解和隱式解
微分方程的解：代入微分方程能使方程成為恒等式的函式.
隱式解：φ（x,y）=0
（4）通解和特解
通解：微分方程的解中含有任意常數,且任意常數的個數與微分方程的階數同.）
特解： 確定了通解中任意常數以後的解.
初始條件：用來確定任意常數的條件.
初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.
（5）積分曲線：微分方程任一特解的圖形都是一條曲線,稱為微分方程的積曲線。
第二章一階微分方程的初等解法
§2.1 變數分離方程與變數變換
2.1.1、變數分離方程
2.1.2、可化為變數分離方程的型別
1.形如，稱為齊次微分方程，令u＝,即y＝ux，於是＝＋，代入原方程，變形為＋＝（），整理得＝
2.形如的方程也可經變數變換化為變數分離方程
（1），方程化為＝，有通解
（2）情形，令u＝，這時有＝＝是分離變數方程
（3）情形，若不全為零，方程右端分子、分母都是x、y的一次多項式，因此＝0，＝0，交點（，令x＝－，y＝－，化為，。則原方程變形為＝
§2.2 線性微分方程與常數變易法
（1）一階線性微分方程，其中在區間上是x的連續函式。若＝0，則變為，
稱為一階齊次線性微分方程，若，則稱為一階非齊次線性微分方程。
（2）是變數分離方程，解為（c是任意常數）。
（3）常數變異法，令，微分之，得到
代入原方程得到新方程，解得
得到通解
（4）伯努利微分方程
令，從而，均代入原方程得到
,這是線性微分方程。
§2.3 恰當微分方程與積分因子
2.3.1 恰當微分方程
（1）簡單二元函式的全微分：
2.3.2 積分因子
，積分因子。
§2.4一階隱式微分方程與引數表示
（1）形如，
引入引數，原方程變為，兩邊對求導，並以代入，得到，這是關於的一階微分方程
（2）形如，
引入引數，原方程變為，兩邊對y求導，並以代入，得到，這是關於的一階微分方程，設求得通解為，則方程通解為
（3）形如f（＝0
（4）形如f（＝0
第三章一階微分方程解的存在定理
§3.1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
1．存在性與唯一性定理：
（1）顯式一階微分方程
3.1）
這裡是在矩形域3.2）
上連續。
定理1：如果函式滿足以下條件：1）在上連續：
2）在上關於變數滿足李普希茲（lipschitz）條件，即存在常數，使對於上任何一對點，均有不等式成立，則方程（3.1）存在唯一的解，在區間上連續，而且滿足初始條件
3.3）
其中,稱為lipschitz常數.
思路：1） 求解初值問題(3.1)的解等價於積分方程
的連續解。
2） 構造近似解函式列
任取乙個連續函式，使得，替代上述積分方程右端的
，得到如果，那麼是積分方程的解，否則，又用替代積分方程右端的，得到
如果，那麼是積分方程的解，否則，繼續進行，得到
3.4）
於是得到函式序列.
3） 函式序列在區間上一致收斂於，即
存在，對(3.4)取極限,得到
即.4)是積分方程在上的連續解.
命題1 設是方程(3.1)定義於區間上,滿足初始條件
的解,則是積分方程
3.5)
的定義於上的連續解.反之亦然.
命題2 對於所有的，（3.6）中的函式在上有定義，連續且滿足不等式
3.6）
命題3 函式序列在上是一致收斂的.
記,命題4 是積分方程(3.5)的定義在上的連續解.
命題5 設是積分方程(3.5)的定義在上的乙個連續解,則,.
1、 近似計算和誤差估計
求方程近似解的方法——picard的逐次逼近法
對方程的第次近似解和真正解在內的誤差估計式
3.7）
例1 討論初值問題
解的存在唯一性區間,並求在此區間上與真正解的誤差不超過0.05的近似解,其中,.
解 ,由於,根據誤差估計式(3.16)
可知.於是
就是所求的近似解,在區間上,這個解與真正解得誤差不超過0.05.
§3.2 解的延拓
2、區域性利普希茨條件
定義2 若函式在區域內連續，且對內每一點，都存在以點為中心，完全含在內的閉矩形域，使得在上關於滿足利普希茨條件（對於不同的點，閉矩形域的大小和利普希茨常數可能不同），則稱在上關於滿足區域性利普希茨條件.
定理3 （延拓定理）如果方程的右端函式在（有界或無界）區域上連續，且在關於滿足區域性利普希茨條件，則對任意一點，方程以為初值的解均可以向左右延展，直到點任意接近區域的邊界.
以向增大的一方來說，如果只能延拓到區間上，則當時，趨於區域的邊界。
推論1 對定義在平面區域上的初值問題
其中若在區域內連續且關於滿足區域性lipschtiz條件,則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.
推論3 如果是無界區域,在上面解的延拓定理的條件下,方程(3.1)通過點的解可以延拓,以向增大(減小)一方的延拓來說,有以下兩種情況:
(1) 解可以延拓到區間(或)；
(2) 解只可延拓到區間(或)，其中為有限數，則當時，或者無界,或者點.
例1討論方程分別通過點和點的解的存在區間.
解此方程右端函式在整個平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.易知方程的通解為
故通過點的解為,這個解的存在區間為；
通過點的解為,這個解的存在區間為
(如圖所示).注意, 過點的解為向右方可以延拓到
,但向左方只能延拓到,因為當時,.
例2討論方程過點的解的存在區間.
解方程右端函式在右半平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.區域(右半平面)是無界開域，軸是它的邊界.
易知問題的解為,它於區間上有定義、連續且當時, ,即所求問題的解向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到,且當時積分曲線上的點趨向於區域的邊界上的點.
§3.3 解對初值的連續性和可微性定理
1、解關於初值的對稱性
設方程(3.1)滿足初始條件的解是唯一的,記為,則在此關係式中,與可以調換其相對位置.即在解的存在範圍內成立關係式
證明在方程(3.1)滿足初始條件的解的存在區間內任取一點,顯然,則由解的唯一性知,過點的解與過點的解是同一條積分曲線,即此解也可寫為
並且,有.又由是積分曲線上的任一點,因此關係式對該積分曲線上的任意點均成立.
2、 解對初值的連續依賴性
由於實際問題中初始條件一般是由實驗測量得到的，肯定存在誤差. 有的時候誤差比較大，有的時候誤差比較小，在實際應用中我們當然希望誤差較小，也就是說當變動很小的時候，相應的方程的解也只有微小的變動，這就是解對初值的連續依賴性所要研究的問題：在討論這個問題之前，我們先來看乙個引理：
引理：如果函式於某域內連續，且關於滿足lipschtiz條件（lipschtiz常數為），則對方程（3.1）的任意兩個解及，在它們公共存在的區間內成立著不等式
3.17）
其中為所考慮區域內的某一值.
證明設,於區間上均有定義,令
則 於是
從而所以,對,有
對於區間,令,並記,則方程(3.1)變為
而且已知它有解和.
類似可得
因此兩邊開平方即得(3.17).
利用此引理我們可以證明解對初值的連續依賴性：
解對初值的連續依賴定理
假設在區域內連續，且關於滿足區域性李普希茲條件，如果，初值問題有解，它於區間上有定義(),則對任意，，使得當時,方程(3.1)滿足條件的解在區間上也有定義，並且有
證明記積分曲線段是平面上乙個有界閉集.
第一步:找區域,使,而且在上關於滿足lipschitz條件.
由已知條件,對,存在以它為中心的開圓,使在其內關於滿足lipschitz條件.因此,根據有限覆蓋定理,可以找到有限個具有這種性質的圓(不同的,其半徑和lipschitz常數的大小可能不同),它們的全體覆蓋了整個積分曲線段,令,則,對,記,則以上的點為中心,以為半徑的圓的全體及其邊界構成包含的有界閉域,且在上關於滿足lipschitz條件, lipschitz常數為.
常微分方程
第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...
常微分方程
一 單項選擇題 1.下列四個微分方程中,三階常微分方程有 個 12 34 a.1b.2c.3d.4 a.n階常係數非齊線性常微分方程 b.n階變係數非齊線性常微分方程 c.n階變係數非線性常微分方程d.n階常係數非線性常微分方程.3.微分方程的乙個解是 abcd.4.是某個初值問題的唯一解，其中方程...
常微分方程小結
組員 黎英 2010104417 韋旭 2010104408 陸華豪 2010104505 常微分 常微分方程 只含乙個自變數的微分方程.方程1.11 1.12 1.13 是常微分方程的例子，是未知函式，僅含乙個自變數.微分方程的階數 微分方程中出現的最高端導數的階數.例如，方程 1.12 1.13...