第一講常微分方程發展簡史——經典階段
一、引言
newton 和lebinitz創立的微積分是不嚴格的, 18世紀的數學家們一方面努力探索微積分嚴格化的途徑, 一方面往往又不顧基礎問題的困難而大膽前進, 大大地擴充套件了微積分的應用範圍, 尤其是與力學的有機結合, 當時幾乎所有的數學家也是力學家.
newton和lebinitz都處理過與常微分方程有關的問題. 微積分的產生的乙個重要的動因來自於人們探求物質世界運動規律的需求. 一般地, 認識規律很難完全靠實驗觀測認識清楚,因為人們不太可能觀測到運動的全過程.
運動是服從一定的客觀規律的, 物質運動與瞬時變化率之間有著緊密的聯絡, 而這種聯絡, 用數學語言表述出來, 即抽象為某種數學結構, 其結果往往形成乙個微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其動力學行為, 運動規律就一目了然了.
在微分方程模型建立過程中, 平衡原理扮演著重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基礎之上的.``平衡"是我們在現實生活中隨處可見的現象.
如：物理學中的能量守恆和動量守恆等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡現象. 再如考慮一段時間內（或一定範圍內）物質的變化,容易發現這段時間內物質的改變量與它的增加量和減少量之差也處於平衡的狀態, 這種平衡規律稱為物質平衡.
所謂平衡原理是指自然界的任何物質在其變化的過程中一定受到某種平衡關係的支配.注意發掘實際問題中的平衡原理無疑應該是從物質運動機理的角度組建數學模型的乙個關鍵問題.
作為例子, 我們介紹著名的malthus模型, 它是最簡單的生態學模型, 也是本書中唯一的線性模型.
給定乙個種群, 我們的目的是確定種群的數量是如何隨著時間而發展變化的. 為此,我們作出如下假設:
模型假設:
初始種群規模已知，種群數量非常大,世代互相重疊,因此種群的數量可以看作是連續變化的；
種群在空間分布均勻,沒有遷入和遷出 (或遷入和遷出平衡)；
種群的出生率和死亡率為常數,即不區分種群個體的大小、年齡、性別等.
環境資源是無限的.
確定變數和引數: 為了把問題轉化為數學問題, 我們首先確定建模中需要考慮的變數和引數:
t: 自變數x(t): t時刻的種群密度,
b: 瞬時出生率d: 瞬時死亡率.
模型的建立與求解:
考查時間段(不失一般性, 設), 由物質平衡原理,在此時間段內種群的數量滿足:
時刻種群數量 – t 時刻種群數量 =內新出生個體數 –內死亡個體數,即亦即
令，可得
滿足初始條件的解為
於是有即，則有
即，則有
即，則有
malthus模型的積分曲線呈「j」字型, 因而種群的指數增長又稱為「j」型增長.
二、常微分方程發展簡史
常微分方程是伴隨著微積分發展起來的, 微積分是它的母體, 生產生活實踐是它生命的源泉. 300年來，常微分方程誕生於數學與自然科學（物理學、力學等）進行嶄新結合的16、17世紀，成長於生產實踐和數學的發展程序，表現出強大的生命力和活力，蘊含著豐富的數學思想方法。
按照歷史年代劃分, 常微分方程研究的歷史發展大體可分為四個階段：
● 18世紀及其以前；
● 19世紀初期和中期；
● 19世紀末期及20世紀初期；
● 20世紀中期以後。
按照研究內容分可以分為：
● 常微分方程經典階段；
● 常微分方程適定性理論階段；
● 常微分方程解析理論階段；
● 常微分方程定性理論階段。
1、常微分方程經典階段：18世紀及其以前
儘管在napier john所創立的對數理論（討論過微分方程的近似解）以及da vinci leonardo的餓狼撲兔問題中都已涉及到微分方程的思想萌芽, 但人們通常認為常微分方程的開端工作是由義大利科學家galileo完成的. 現在通常稱為彈性理論這一領域中的問題促進了微分方程的研究. 17世紀歐洲的建築師們在建築教堂和房屋時, 需要考慮垂直梁和水平梁在外力作用下的變形, 以及當外力撤銷時梁的恢復程度, 也就是梁的彈性問題.
當時的建築師們處理此類問題大多依賴於經驗. galileo從數學角度對梁的性態進行了研究, 將研究成果記錄在《關於兩門新科學的對話》一書中, 這些研究成果成為常微分方程開端.
餓狼撲兔問題：
乙隻兔子正在洞穴正南面60碼的地方覓食，乙隻餓狼此刻正在兔子正東100碼的地方遊蕩。兔子回首間猛然遇見了餓狼貪婪的目光，預感大難臨頭，於是急忙向自己的洞穴奔去。
說時遲，那時快，惡狼見即將到口的美食就要失落，立即以一倍於兔於的速度緊盯著兔子追去。於是，狼與兔之間，展開了一場生與死的驚心動魄的追逐。
問：兔子能否逃脫厄運？
一階常微分方程
從17世紀末開始, 擺的運動, 彈性理論及天體力學等實際問題的研究引出了一系列常微分方程, 這些問題在當時往往以挑戰的形式被提出而在數學家之間引起熱烈的討論. 常微分方程最早的著作出現在數學家們彼此的通訊中, 或者出現在那些常常重新登載書信中建立的或說明的結果的刊物中. 某人宣布乙個結果往往引起另乙個人的申辯, 說他更早作了完全相同的工作.
由於存在著激烈的競爭,這種申辯不一定是真實的. 有些證明只是概述, 而且弄不清作者掌握的詳情. 同樣, 在信上寫著的一般解法也僅僅是特例的說明.
由於這些原因, 我們即使不考慮這個問題的嚴密性, 也很難指出誰是首先得到這些結果的人. 質點動力學是這個階段研究的問題的主要**之一。
2023年, huygens在《教師學報》中明確說到了微分方程, 而leibniz在同年的《教師學報》的另一篇文章中稱微分方程為特徵三角形的邊的函式. 我們現在所學到的關於常微分方程的觀點大約直到2023年才出現.
bernoulli james用微積分求解常微分方程解析解的先驅者之一.
● 2023年, bernoulli james研究了與鐘擺運動有關的``等時曲線問題: 求一條曲線, 使得擺沿著它作一次完全的振動時間相等, 無論擺所經歷的弧長的大小". bernoulli james通過分析建立了常微分方程模型, 並用分離變數法解出了曲線方程，即擺線.
● 2023年, bernoulli james提出了「懸鏈線問題：求一根柔軟的但不能伸長的繩子懸掛於兩固定點而形成的曲線」. leibniz稱此曲線為懸鏈線.
在大自然中，除了懸垂的項鍊外，我們還可以觀察到吊橋上方的懸垂鋼索，掛著水珠的蜘蛛網，以及兩根電線桿之間所架設的電線，這些都是懸鏈線.
● 這個問題早在15世紀, leonardo da vinci已經考慮過此問題. galileo比bernoulli james更早注意到懸鏈線，他猜測懸鏈線是拋物線，從外表看的確象，但實際上不是。huygens在2023年（當時17歲），經由物理的論證，得知伽利略的猜測不對，但那時，他也求不出答案。
在2023年6月的《教師學報》上, leibniz g, huggens c (62歲), bernoulli john都發表了各自的解答, huggens的解答是幾何的且是不清楚的. john所用方法是誕生不久的微積分，具體說是把問題轉化為求解乙個二階常微分方程，解此方程並適當選取引數，即得懸鏈線.也就是常微分方程教材中採用的解法.
leibniz用微積分的方法也得到了這個結果. john能夠解決了懸鏈線問題, 而他的哥哥james提出這個難題卻不能解決, 所以他感到莫大的驕傲.這兩個人在學術上一直相互不忿，據說當年john求懸鏈線的方程，熬了一夜就搞定了，james做了一年也沒有結果，實在是很沒面子。
bernoulli一家在歐洲享有盛譽，有乙個傳說，講的是daniel bernoulli（丹尼爾·伯努利）（他是john bernoulli的兒子）有一次正在做穿過歐洲的旅行，他與乙個陌生人聊天，他很謙虛的自我介紹：「我是daniel bernoulli。"那個人當時就怒了，說：
「我是還是issac newton（牛頓）呢。」daniel從此之後在很多的場合深情的回憶起這一次經歷，把它當作自己曾經聽過的最衷心的讚揚。
● 2023年, leibniz g和bernoulli john提出了等角軌線問題: 求這樣的曲線和曲線族, 使得它與某已知曲線族的每一條曲線都相交成給定的角度. 當所給定的角為直角時, 等角軌線就稱為正交軌線.
等角軌線在許多學科如光學、天文、氣象中都有應用.
這個問題一直到2023年都沒有公開,那時john把它作為向james提出的乙個挑戰.
james只解決了一些特殊的例項. john匯出了一特殊曲線族的正交軌線的微分方程,並且在2023年解出了它. 後來
leibniz找到了曲線族(是引數)的正交軌線即一族橢圓.雖然他只解出了特例, 沒有給出一般方法, 但在他的解法中隱含了一般解法.
● 正交軌線問題一直處於沉寂狀態, 直到2023年, leibniz向英國數學家, 主要對準newton提出挑戰: 找出求一已知曲線或曲線族的正交軌線的一般方法. newton在造幣廠, 白天勞累之後, 用睡覺前時間接觸了這個問題, 2023年發表了他的解答.
newton還指明了如何求與一已知曲線族相交成定角的曲線, 或相交的角是按照給定的規律隨族中曲線變化的曲線. 雖然newton用了二階常微分方程, 但他的方法與現代所用的方法沒有太大的不同. 關於這個問題的更進一步的工作是由bernoulli nicholas在2023年完成的.
2023年, hermann j (bernoulli john的學生)給出了一般規則, 此方法實際上是leibniz的, 只不過hermann闡述得更為明確而已. john bernoulli向英國人提出了另外一些軌線的難題, 他特別討厭的是newton. 由於英國人和歐洲大陸夥伴已經不和, 所以挑戰是冷酷的且充滿敵意.
● 2023年, lagrange j在``等時曲線問題"上取得重要進展, 並開創了變分學.
起初, 數學家們只是用特殊的方法和技巧解決特殊的方程, 然後才逐漸開始尋找帶有普遍性的方法.
● 2023年, leibniz g提出了求解了變數可分離方程的「變數分離法」; 首次應用後來被稱為briot-bouquet變換的$y=ux$解決了齊次方程的求解問題. 2023年, bernoulli john在《教師學報》中對變數可分離方程和齊次方程求解作了更加完整的說明.
● 2023年, bernoulli james提出了bernoulli方程, 並於2023年用分離變數法把它解出. 2023年, leibniz g利用「變數代換法」求解bernoulli方程,即作變數替換, 將其劃為線性方程求解. 還曾試圖利用變數代換法統一解決一階常微分方程的求解問題.
bernoulli兄弟(james, john)也推進了分離變數法和變數代換法.
常微分方程
第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...
常微分方程
一 單項選擇題 1.下列四個微分方程中,三階常微分方程有 個 12 34 a.1b.2c.3d.4 a.n階常係數非齊線性常微分方程 b.n階變係數非齊線性常微分方程 c.n階變係數非線性常微分方程d.n階常係數非線性常微分方程.3.微分方程的乙個解是 abcd.4.是某個初值問題的唯一解，其中方程...
常微分方程小結
組員 黎英 2010104417 韋旭 2010104408 陸華豪 2010104505 常微分 常微分方程 只含乙個自變數的微分方程.方程1.11 1.12 1.13 是常微分方程的例子，是未知函式，僅含乙個自變數.微分方程的階數 微分方程中出現的最高端導數的階數.例如，方程 1.12 1.13...