中國海洋大學 2008-2009學年第一學期期末考試試卷（ａ）答案
一、選擇題
1、b2、b3、b4、c5、a二、判斷題
1、2、√3、√4、5、三、填空題
1、；．
2、;是的連續.
3、4、, 其中是任意常數.
5、個線性無關的解; 無窮多
四、簡答題
1、解：由於，故原方程有積分因子
，求得通解為
. 2、證明：考查函式項級數
1) 其部分和是為，
因此，只須證明函式項級數(1)在上一致收斂．由的表示式
.由李普希茲條件及上式，有
假設對於正整數，有不等式
.則由李普希茲條件，當時，有
由數學歸納法知，對一切正整數k，皆有
.又由於，有，從而
2)(2)式右端恰是收斂的正項級數的一般項，由m一判別法，函式項級數(1)在上一致收收斂，其和函式記為. 故函式序列在上一致收斂.
類似地可以證明在上一致收斂.
3、解：(1)求的通解．由特徵方程得特徵根為，，其通解為．
(2)用待定係數法求非齊方程的特解．
設，則，，代入原方程，比較兩端，係數，得
，，所以，．故非齊通解為
． 4、證明: 令
則③是對應齊線性方程組的解組，並且可以證明是線性無關的．
事實上，假設③是線性相關的，則存在一組不全為零的常數
即 ．
這表明有一組不全為零的常數使上式成立，這與是線性無關的題設矛盾，因此③是線性無關的．
對方程組的任一解，必是對應齊線性方程組的解．又因為③是對應齊線性方程組的基本解組，必存在一組常數，使得
即，亦即，故
．反之，若，對於
因為是對應齊線性方程組的解，也是對應齊線性方程組的解，而是的方程組的乙個解，故
是方程組的解．
五、綜合題
1、解：火車的質量是，，速度為，加速度為，根據牛頓第二定律，有．
整理，得到路程s應滿足的二階常係數非齊線性方程
．可求得方程通解
．代入初始條件：當時，，，得
，．故火車的運動規律為
． ２、解：a的特徵值為，，，求對應的齊次方程組的基解矩陣為
，有得故所求的初值問題解為＝．
常微分方程課程總結
第一章緒論 1.2微分方程的基本概念 1 常微分方程偏微分方程 微分方程 凡含有未知函式的導數或微分的方程叫微分方程。常微分方程 未知函式為一元函式的微分方程。偏微分方程 未知函式為多元函式，從而出現偏導數的微分方程。2 線性與非線性 一般n階線性微分方程具有形式 等式左面全是一次有理整式 3 解和...
常微分方程
第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...
常微分方程
一 單項選擇題 1.下列四個微分方程中,三階常微分方程有 個 12 34 a.1b.2c.3d.4 a.n階常係數非齊線性常微分方程 b.n階變係數非齊線性常微分方程 c.n階變係數非線性常微分方程d.n階常係數非線性常微分方程.3.微分方程的乙個解是 abcd.4.是某個初值問題的唯一解，其中方程...