常微分方程》複習提綱 ( 共7頁 )一． 計算方面----常微分方程主要可求解型別及解法要點1． 一階方程
（1） 一階變數可分離方程： ； ；
（2） 一階線性方程： ；
通解公式：
（3） 一階恰當方程：
積分因子：
單變數積分因子： ；
恰當方程解法：分項組合法（又稱湊微分法）
或者用偏積分法：,
（4） 一階隱方程：
型解法：
型解法：
2．n階線性常係數方程
（1） n階線性常係數齊次方程：
特徵方程：
基解組求法：
（2） n階線性常係數非齊次方程：
其特解的求法：
a） 常數變易法：令
則： b) 待定係數法：
，可待定，其中是k重特徵根
，可待定，
其中=是k重特徵根，l=max
c) 拉斯變換法：
3. 尤拉方程：
運算元解法：，
4．高階可降階方程：，
注意：特殊變係數線性方程解法：降解法，冪級數法，湊微分法，常數變易法。
5．一階n維線性常係數方程組
（1）．一階n維線性常係數齊次方程組：
基解矩陣求法：
a）b） a可相似對角化，即存在可逆陣p，使得：
（特：a具有n個不等的特徵根）
則： ( 此種情況下也是方程的基解矩陣 ，但有可能是復的)c）a只有乙個n重特徵根, 則：
d）其中：
（2）．一階n維線性常係數非齊次方程組：
其特解的求法：常數變異法（特殊自由項可用待定係數法）令則：
滿足初始條件的特解：
二． 理論方面
1. n階常微分方程： （滿足存在唯一性定理條件）其通解：含有n個獨立任意常數的解的一般表示式2. 存在唯一性定理及相關定理
（1）一階方程初值問題
解的存在唯一性定理：
條件：結論：
解的延拓定理：
條件：結論：
解對初值連續依賴性定理：對於方程：
條件：結論：
（2）n階線性方程初值問題：
解的存在唯一性定理的條件：
結論：（3）一階n維線性方程組初值問題：
解的存在唯一性定理的條件：
結論：3. 線性方程解的疊加性與解結構定理
（1） n階線性方程解分拆與疊加性：( 要求證明 )1）若是（齊）的解，則是（齊）的解
2）若是（非齊）的解，則是（齊）的解
3）對於a）
b）c）
d） 若是（a）的解，則分別是（b），（c）的解，是（d）的解（2） n階線性方程解結構（在滿足存在唯一性定理條件下）n階（齊）線性方程一定具有n個線性無關解即基解組：
n階（齊）線性方程的任一解可表示為=
n階（非齊）線性方程的任一解可表示為=
*思考：n階（非齊）線性方程有幾個線性無關解，你能證明嗎？
（3）一階n維線性方程組解分拆與疊加性：( 要求證明 )1）若是（齊）的解，則是（齊）組的解
2）若是（非齊）組的解，則是（齊）組的解
3）對於a）
b）c）
d） 若是（a）的解，則分別是（b），（c）的解，是（d）的解
（4）一階n維線性方程組解結構 （在滿足存在唯一性定理條件下）一階n維（齊）線性方程組一定具有n個線性無關解即基解組：
基解陣： ； 滿足：
一階n維（齊）線性方程組的任一解可表示為=一階n維（非齊）線性方程組的任一解可表示為=*思考：一階n維（非齊）線性方程組有幾個線性無關解？
（5） 伏朗斯基行列式與線性方程解的線性相關性的判定n階線性方程的n個解的伏朗斯基行列式
一階n維線性方程組的n個解的伏朗斯基行列式具有性質：n個解線性相關
n個解線性相無關恆不為零
因此，可利用、來判斷n個解線性相關與無關
（6）n階線方程：可化為n維線性方程組：
## 練習：求解下列方程及方程組。
1) 2)
3) 4)
5) 6）
7） ，，
8）9) ，
1011)
12)13）求與曲線族正交的曲線族
14）畫出方程的方向場示意圖
15）討論方程解的存在性和唯一性
16）驗證實變數復值向量函式是齊線性方程組：
的解。並求方程組的通解17）
常微分方程
第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...
常微分方程
一 單項選擇題 1.下列四個微分方程中,三階常微分方程有 個 12 34 a.1b.2c.3d.4 a.n階常係數非齊線性常微分方程 b.n階變係數非齊線性常微分方程 c.n階變係數非線性常微分方程d.n階常係數非線性常微分方程.3.微分方程的乙個解是 abcd.4.是某個初值問題的唯一解，其中方程...
常微分方程小結
組員 黎英 2010104417 韋旭 2010104408 陸華豪 2010104505 常微分 常微分方程 只含乙個自變數的微分方程.方程1.11 1.12 1.13 是常微分方程的例子，是未知函式，僅含乙個自變數.微分方程的階數 微分方程中出現的最高端導數的階數.例如，方程 1.12 1.13...