分布圖示
★ 二階線性微分方程的概念
二階線性微分方程的解的定理
★ 定理1
★ 函式的線性相關和線性無關
★ 定理2定理3定理4
★ 定理5例1
★ 內容小結課堂練習
★ 習題8-5
內容要點：
一、二階線性微分方程解的結構
二階線性微分方程的一般形式是
6.1)
其中、及是自變數的已知函式，函式稱為方程(6.1)的自由項. 當時, 方程(6.1)成為
6.2)
這個方程稱為二階齊次線性微分方程，相應地，方程(6.1)稱為二階非齊次線性微分方程.
定理1 如果函式與是方程(6.2)的兩個解, 則
6.3)
也是方程(6.2)的解，其中是任意常數.
定理2 如果與是方程(6.2)的兩個線性無關的特解，則
就是方程(6.2)的通解，其中是任意常數.
定理3 設是方程(6.1)的乙個特解，而是其對應的齊次方程(6.2)的通解，則
6.4)
就是二階非齊次線性微分方程(6.1)的通解.
定理4 設與分別是方程
與的特解，則是方程
(6.5)
的特解.
定理5 設是方程
(6.6)
的解，其中為實值函式，為純虛數. 則與分別是方程
與的解.
例1 已知是某二階非齊次線性微分方程的三個特解:
(1) 求此方程的通解;
(2) 寫出此微分方程;
(3) 求此微分方程滿足的特解.
解 (1) 由題設知, 是相應齊次線方程的兩個線性無關的解,且是非齊次線性方程的乙個特解，故所求方程的通解為
，其中(2) 因 ①
所以②從這兩個式子中消去即所求方程為
(3) 在①, ②代入初始條件得
從而所求特解為
課堂練習
1.下列函式組在其定義域內哪些是線性無關的?
2.給出n階線性微分方程的n個解, 問能否寫出這個微分方程及其通解?
05第五節二階線性微分方程解的結構
內容分布圖示 二階線性微分方程的概念 二階線性方程的解的性質 定理1 函式的線性相關和線性無關 定理2定理3定理4 定理5例1 內容小結課堂練習 習題8 5 返回 內容要點 一 二階線性微分方程解的結構 二階線性微分方程的一般形式是 6.1 其中 及是自變數的已知函式，函式稱為方程 6.1 的自由項...
第五節 不等式的證明二
教案用紙 教學過程 一 比較法 1 複習 比較法，依據 步驟 比商法，依據 步驟 適用題型 2 例 一 證明 在是增函式。證 設2 x1 x2 x1 0,x1 x2 4 0 又 y1 0，y1 y2 在是增函式 二 綜合法 定義 利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個...
第五節多元函式微分學自測題提示與答案
六 自測練習題提示與解答 1.應填z 2.所給方程兩邊對x求導數得 即有所以應填 1 3.應填 4.所給函式取對數得 兩邊微分 應填 5.方程兩邊對x求導數得 方程兩邊對y求導數得 則應填 1 6.點p 向徑的方向余弦為 所求方向導數為應填 7.應填 8.切平面的法向量為在點 3,1,1 處的切平面...