六、自測練習題提示與解答
1. 應填z ．
2. 所給方程兩邊對x求導數得：
即有所以應填 1 ．
3.應填：
4. 所給函式取對數得：兩邊微分
應填：5. 方程兩邊對x求導數得：
方程兩邊對y求導數得：
則應填 1 ．
6. 點p 向徑的方向余弦為
所求方向導數為應填
7. 應填
8. 切平面的法向量為在點(3,1,1)處的切平面方程為
即為應填
9. 曲線的切線的方向向量為平面的法向量為
依題意則有解得（捨去）曲線的切線方程為
或（答案有誤）
10. 應選（c）．由於同理
由於所以在點處偏導數存在但不可微，
故選項（c）正確．
11. 應選（c）．因為偏導數連續是在點處可微的充分條件而不是必要條件，在點處的偏導數不連續在該點處也可能可微，故選項（c）正確．
12. 應選（c）．因為顯然在 (0,0) 點處偏導數不存在．
因而在點處不可微．故選項（b）（d）均不正確．
為驗證在的連續性，作極座標變換，令則有
故在處連續，選項（a）不正確，由排除法應選（c）．
13. 應選（d）．二元函式在原點的兩個偏導數存在，它在原點未必連續，未必可微，未必沿任意方向的方向導數都存在，故選項（a）（b）（c）都不正確，由排除法應選（d）．
14. 應選（b）．向量的方向余弦為
又所以故選項(b)正確.
15. 由於所以
又由於所以則有
16．由於即有所以曲線在點處的切線與軸的夾角為
17. 證：
同理則有
同理由於其中第二項分子極限不存在，故所求極限不存在，即在原點不連續．同理在原點也不連續．
又由於所以在處可微． 證畢
(注意：本題是函式在一點處偏導數不連續但在該點處函式可微的例子)
18. （1）
要使存在，
則有同理，
要使存在，
則有總之，要使都存在，則有
(2)由於
則當時，f (x, y)在點(0,0)的全微分存在.
19.20.
21.（注意：本題先對y求導數,計算簡單!）
22.23. 方程兩邊對x求導數得：
即有方程兩邊對y求導數得：
即有24. 方程兩邊對x求導數得：
25.方程兩邊微分得：
則有：即有：
26．方程組的兩個方程兩邊分別微分得：
即有利用行列式法解得：
則有：則有：
27.證:方程兩邊對x求導數得：
方程兩邊對y求導數得：
證畢．28.
梯度為:
切線的方向向量為
方向余弦為
29.曲面的切平面的法向量為：,
平面和的法向量分別為
依題意有
則有由可得將代入曲面方程得：解得切點座標為
法向量為曲面的切平面方程為：
30．用公式法解此題.令則在點處曲線的切線方程為：
即為：，法平面方程為：
31. 證:方程可決定曲面f的法向量為
方程兩邊對x求導數
則有方程兩邊對y求導數
則有若（xy,z）是切平面上的任意一點，則有：
顯然切平面方程滿足即切平面過定點證畢．
32.令解得
由於所以不是極值點．
由於所以為極大值．
33.令解得
則有在邊界上，
令解得（捨去） 則有
此外有在邊界上，令解得則有此外有在邊界上，
令解得（捨去）．則有
此外有在邊界上，令
解得（捨去）．則有
此外有比較上述函式值可知
34．設內接長方體在第一卦限的座標點為
由於對稱性有（目標函式），且有（條件方程）．
設解方程組得則有
即有所以
35. 設解方程組
得故函式在球面上的最大值為即在的條件下，有
也即有令
帶入上式並整理得證畢．
36.證:由極限的保號性知， 當時，
即有從而可知在處沿極徑方向的方向導數大於零．從而沿極徑方向為增函式，而為有界閉區域，
則在上有最小值．由上沿任一極徑方向為增函式知，在上的最小值也就是其在全平面上的最小值． 證畢.
37. 先證必要性：等式兩邊對t求導數得
令得再證必要性： 則有
即有從而證畢．
第五節銳角三角函式及其應用
河南五年中招 1.15河南20題9分 如圖所示，某數學活動小組選定測量小河對岸大樹bc的高度，他們在斜坡上d處測得大樹頂端b的仰角是30 朝大樹方向下坡走6公尺到達坡底a處，在a處測得大樹頂端b的仰角是48 若坡角 fae 30 求大樹的高度 結果保留整數 參考資料 sin48 0.74，cos48...
05第五節二階線性微分方程解的結構
分布圖示 二階線性微分方程的概念 二階線性微分方程的解的定理 定理1 函式的線性相關和線性無關 定理2定理3定理4 定理5例1 內容小結課堂練習 習題8 5 內容要點 一 二階線性微分方程解的結構 二階線性微分方程的一般形式是 6.1 其中 及是自變數的已知函式，函式稱為方程 6.1 的自由項.當時...
05第五節二階線性微分方程解的結構
內容分布圖示 二階線性微分方程的概念 二階線性方程的解的性質 定理1 函式的線性相關和線性無關 定理2定理3定理4 定理5例1 內容小結課堂練習 習題8 5 返回 內容要點 一 二階線性微分方程解的結構 二階線性微分方程的一般形式是 6.1 其中 及是自變數的已知函式，函式稱為方程 6.1 的自由項...