常微分方程的數值解法
一、 實驗目的：
目的與要求：通過實驗，熟悉常微分方程的數值解法的基本原理。掌握向前尤拉法、向後尤拉法、梯形法、改進尤拉法及三階、四階龍格-庫塔法等基本演算法。
二、 實驗內容：
在下列方法中：向前尤拉法、向後尤拉法、梯形法、改進尤拉法及三階、四階龍格-庫塔法
選擇不同的三種演算法求下面方程的數值解，並與準確解比較。
以上步長取0.1.
三、 實驗要求：
1．程式設計實現。2.可以自擬實驗題，要求同上。
四、 實驗程式及結果：
1． 求原函式
dsolve[,y[x],x]
求得：2． 向前尤拉法
x[0]=0;y[0]=0;h=0.1;
f[x_]:=;
x[n_]:=n*h;
f[u_,v_]:=u2+u-v;
k1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]];
y[n_]:=y[n-1]+h*k1[n];
table[,]//n;
print["\nn,x[n],y[n],f[x[n]],f[x[n]]-y[n]\n"," ",matrixform[table[,]//n]]
data1=table[,]//n;
data2=table[,]//n;
a0=plot[f[x],,plotstyle ];
a1=graphics;
a2=listlineplot[data2,plotstyle ];
a3=graphics;
show[a0,a1,a2,a3,plotrange all]
3． 改進尤拉法
f[x_,y_]:=x2+x-y;
f[x_]:=;
xy:=};
h=0.1;
do[xn=xy[[n]][[1]];yn=xy[[n]][[2]];
k1=f[xn,yn];k2=f[xn+h,yn+h*k1];
d=(k1+k2)*h/2 ;
print[n," ","x",n,"=",xn+h," ","y",n,"=",yn+d," ","f(x",n,")=",f[xn+h]," ","f(x",n,")-y(x",n,")=",f[xn+h]-(yn+d)];
xy=append[xy,],];
a1=graphics;
a2=listlineplot[xy,plotstyle dashed];
a3=plot[f[x],,plotstyle ];
show[a3,a2,a1]
4． 四階龍格-庫塔法
f[x_,y_]:=x2+x-y;
f[x_]:=;;
y0=1;a=0;b=1;n=10;
h=(b-a)/n;
xx=table[a+(i-1)h,]//n;
y=table[0,];
y[[1]]=y0//n;
for[i=2,i n+1,i++,
a1=h f[xx[[i-1]],y[[i-1]]];
a2=h f[xx[[i-1]]+h/2,y[[i-1]]+a1/2];
a3=h f[xx[[i-1]]+h/2,y[[i-1]]+a2/2];
a4=h f[xx[[i-1]]+h,y[[i-1]]+a3];
y[[i]]=y[[i-1]]+1/6 (a1+2a2+2a3+a4);
print[i-1," ","x",i-1,"=",xx[[i]]," ","y",i-1,"=",y[[i]]," ","f(x",i-1,")=",f[xx[[i]]]," ","f(x",n,")-y(x",n,")=",f[xx[[i]]]-y[[i]]];]
data=table[,];
a1=graphics;
a2=listlineplot[data];
a3=plot[f[x],,plotstyle ];
show[a3,a2,a1]
5、實驗總結：
本次實驗是為了熟悉常微分方程的數值解法的基本原理。掌握向前尤拉法、向後尤拉法、梯形法、改進尤拉法及三階、四階龍格-庫塔法等基本演算法。
對同乙個方程求數值解，我採用了向前尤拉法、改進尤拉法和四階龍格-庫塔法,了解了不同演算法的程式設計難度和運算效率。本次實驗中又犯了粗心的錯誤，少打了乙個「]」，使程式不能正確執行，花了不少時間查錯。
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