偏微分方程數值解程式作業1
pb09001057孫琪
【問題1】
用ftcs計算情形下的數值解。並比較。
【ftcs方法】
對一階波動方程，其中,
考慮空間步長，時間步長，則產生了乙個格點表，
並且定義，
那麼採用ftcs方法進行逼近：，
又由週期性可得：，
所以只要由初值條件得到n=0層的資料，便可由ftcs方法計算下去，得到所有的數值解。
【實驗】
當時；將問題1中所給出的t=0時刻的函式離散帶入後得到了初始的n=0層的格點圖，
由上述結果可以得到n=1時的格點圖為：
這裡我們的橫軸為，沒有取jh，但同樣可以看出格點解的趨勢，之後的圖也是如次，不再做過多敘述了。
由上述結果可以得到n=2時的格點圖為：
由上述結果可以得到n=3時的格點圖為：
由上述結果可以得到n=4時的格點圖為：
由上述結果可以得到n=5時的格點圖為：
【分析】
做到這裡，我們可以看出隨著n的增加的值也在不斷地以較小的趨勢增大，我們只討論這有限步，得到了整體的變化趨勢。
其實在這裡我很想要分析一下誤差，因為我們可以求出這個一維波動方程的解析解，從而可以比較我們得到的數值解在各個格點上與解析解的最大誤差及其趨勢，但我又想了想，今後遇到的偏微分方程一定是較為複雜的方程，及我們基本求不到這些方程的解析解，我們只能從自身設計的演算法中來判斷所得的數值解是否是很逼近真實而我們未知的解析解。這就是課本介紹的ftcs方法了，課本講得已經很詳細了，也不用我在這裡分析了。
幸好我們今後研究的很多偏微分方程是從一些物理現象中歸納出來的，我們可以利用物理現象來驗證所得數值解是否逼近真實的解析解。
也不知道我的這種觀點是否正確，請老師給評價下吧，謝謝。
【mathematica程式】
當時，同上我們可以得到：
n=1時，
n=2時，
n=3時，
n=4時，
n=5時，
【分析】
做到這裡，我們可以看出隨著n的增加的值在不斷地增大且增幅較為巨大，我們只討論這有限步，得到了整體的變化趨勢。
【mathematica程式】
【問題2】
【實驗】
這個問題比較簡單，就是直接計算，我們將結果列在下表：
【分析】
從上面的結果可以看出，當格點表越分越細時，v-u的h模也越來越小，這與理論的分析結果一致。
【mathematica程式】
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