微分方程數值解法實驗報告

for k=2:n

yp=y(k-1,:)+h*feval(f,x(k-1),y(k-1,:));

yc=y(k-1,:)+h*feval(f,x(k),yp);

y(k,:)=(yp+yc)/2;

end(3) runge-kutta method:

function [tout,yout]=runge_kutta(f,ab,y0,h)

tout=(ab(1):h:ab(2))';

n=length(tout);

yout=zeros(n,length(y0));

yout(1,:)=y0';

for k=2:n

x=tout(k-1); y=yout(k-1,:)';

k1=feval(f,x,y);

k2=feval(f,x+h/2,y+k1*h/2);

k3=feval(f,x+h/2,y+k2*h/2);

k4=feval(f,x+h,y+k3*h);

yout(k,:)=(y+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6)';

end四、實驗步驟

1、開啟matlab軟體，新建 *.m檔案，在m檔案的視窗中編輯euler演算法的函式程式，另建一m檔案，編輯自己改進的euler演算法的函式程式，再新建一m檔案，在視窗中編輯runge-kutta演算法的函式程式，並全部儲存在指定的資料夾下；

2、將matlab軟體的工作頁面的工具欄下的目標檔案指向指定的資料夾；

3、分別呼叫上述三種演算法的函式，實現微分方程（組）的數值求解完成給定的實驗題目；

4、輸出結果和初步分析說明（見附頁）。

五、使用說明實驗結果分析

1、在command window視窗中編輯要呼叫的函式名與指定的函式名字不同導致出現錯誤，通過改正與函式名相同即可；

2、大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當然，這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。

六、演算法的改進和實驗總結

1、euler演算法的改進：

先用尤拉法求得乙個初步的近似值，稱為預報值，然後用它替代梯形法右端的yi+1再直接計算fi+1，得到校正值yi+1，這樣建立的預報-校正系統稱為改進的尤拉格式：

預報值 y~i+1=yi+1 + h*f(xi,yi)

校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]

它有下列平均化形式：

yp=yi+h*f(xi,yi)

且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)

且 yi+1=(xp+yc)/2

它的區域性截斷誤差為o(h^3)，可見，改進尤拉格式較尤拉格式提高了精度，其截斷誤差比尤拉格式提高了一階。

2、總結：runge-kutta法求解微分方程比euler公式，改進的euler公式的求解結果有更高的精度，通過本次實驗，不僅對其三種方法有了更一步的了解，而且掌握並了解了幾種計算機輔助工具的運用，對我們以後更好的學習它們奠定了一定的實踐基礎，提高了我們一定的分析問題和解決問題的能力，也讓我們對所學知識有了更深刻的了解，同時也提高了我們的動手能力。

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