laplace變換在微分方程(組)求解中的應用
劉小丹(隴東學院數學與統計學院甘肅慶陽 745000)
摘要:利用laplaca變換的定義及其性質研究在某些定解條件下的常微分方程，常微分方程組，偏微分方程以及變係數的微分方程的解法，進一步完善了微分方程理論，提高laplace變換的應用範圍.
關鍵詞:laplace變換;常微分方程;常微分方程組;偏微分方程變;係數的微分方程.
引言laplace變換是由復變函式積分匯出的乙個非常重要的積分變換，它在應用數學中占有很重要的地位，特別是在科學和工程中，有關溫度、電流、熱度、放射現象等方面都有廣泛的應用.為了研究本文提出的各種問題，我們給出了laplace變換的概念以及一些性質.
laplace變換的定義設函式f(x)在區間上有定義，如果含參變數s的無窮積分對s的某一取值範圍是收斂的.則稱
為函式的laplace變換，稱為原函式，稱為象函式，並記為.
性質1 (laplace變換存在定理)如果函式在區間上逐段連續，且存在數，，使得對於一切有,則當時，存在.
性質2 (線性性質)設函式和滿足laplace變換存在定理的條件，則在它們象函式定義域的共同部分上有
其中和是常數.
性質3 （原函式的微分性質）如果，，，均滿足laplace變換存在定理的條件，則
或更一般地，有
.性質4 （象函式的微分性質）如果,則
或一般地有
.主要結論及推導
對於laplace變換式，在積分號下對s求導，得到
即再對（*）式求導，可得
在一般情況下，對於任一正整數n，有即從而
（1）對性質3及（1）式，可得
1、 利用laplace變換求解常係數微分方程
例1 求方程的滿足初始條件的解.
解對方程兩端進行laplace變換得
由此得把上式右端分解成分式
對上式兩端各項分別求出其原函式，再求和.即得原微分方程的解為
例2 求微分方程滿足初始條件,的特解.
解設，對微分方程兩端取laplace變換得
考慮到初始條件得
於是對上述方程兩端取laplace逆變換,得
於是得到方程的解為
2、 利用laplace變換求解常係數微分方程組
例3 求解初值問題的解.
解設，對方程組取laplace變換，得到
即從而有
對上面方程組取laplace逆變換，得原方程組的解為
例4 求微分方程組滿足初始條件的解.
解設，對微分方程組取laplace變換得
考慮到初始條件得
由上面方程組解得
對上方程組取laplace逆變換得原方程組的解為
3、 利用laplace變換求解偏微分方程
例5 求的定解.
解首先將定解問題取laplace變換，並記
則有，， 這樣，就將原來的問題轉化為含有引數的常微分方程的邊值問題
以求得其解為
對上式取laplace逆變換，得到原偏微分方程的解為
例6 求方程的解.
解對方程兩端關於t施行laplace變換(取s為實數),有
求解得由條件得，從而，代入上式並應用laplace逆變換，有
4、 利用laplace變換求解變係數的微分方程
例7 求變係數微分方程滿足初始條件的解.
解對方程兩端同時施行laplace變換，利用laplace變換的微分性質有
結合初始條件，化簡有
解得，c為任意常數.取laplace逆變換，則有
例8 求解二階變係數微分方程滿足初始條件為常數）的解.
解設，對方程兩端取laplace變換，得即亦即
整理後化簡可得
而由在積分號下對s求導得，可知
所以有對上式取laplace逆變換得
即得原變係數方程的解為
結語laplace變換的方法對於常係數線性微分方程和常係數微分方程組的初值問題的求解非常方便.因此，考慮將這種方法應用於偏微分方程以及變係數微分方程的初值問題.對於一些微分方程教材中提供的求解偏微分方程和變係數微分方程的常規方法，相比較而言，laplace變換的方法可以順利地求出結果，而且方法更簡便，解題步驟更加明確、規範，便於教學和工程技術中的應用.
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微分方程總結
一 基本概念 微分方程 方程的階 方程的解 通解 特解 初始條件 積分曲線 階線性微分方程等.二 一階微分方程 1.可分離變數的微分方程 1 定義 形如的方程.2 解法 分離變數，兩邊同除，得，再積分可 得通解為 2.齊次方程 定義 形如的方程.解法 令，則，於是，原方程化為，整理為，積分為，再將代...
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目錄摘要 1 1 引言 2 2 常微分方程模型 2 2.1 建立常微分方程模型的方法和步驟 2 3 常微分方程模型示例 5 3.1 紅綠燈問題 5 3.2廣告模型 8 4 總結 10 參考文獻 11 常微分方程是在17世紀伴隨著微積分而發展起來的一門具有重要應用價值的學科.它是研究連續量變化規律的重...
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第一節基本概念 一 基本知識 1 微分方程的概念 1 微分方程 含有未知函式的導數 或微分 的方程稱為微分方程 未知函式為一元函式的叫常微分方程 未知函式為多元函式的叫偏微分方程 2 微分方程的階 方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程 3 微分方程的解 使微分方程...