2–5 用拉普拉斯變換方法解微分方程
拉普拉斯變換方法是解線性微分方程的一種簡便方法，利用拉普拉斯變換法可以把微分方程變換成為代數方程，在利用現成的拉普拉斯變換表（參見附錄一的附表1），即可方便地查得相應的微分方程解。這樣就使方程求解問題大為簡化。
拉普拉斯變換法的另乙個優點是在求解微分方程時，可同時獲得的瞬態分量和穩態分量兩部分。
有關拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）的公式見附錄一。
應用拉氏變換法得到的解是線性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解時需要利用初始條件來確定積分常數的值，這一過程比較麻煩。而應用拉氏變換就可省去這一步。
因為初始條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式之中了。而且，如果所有初始條件都為零，那麼求取微分方程的拉氏變換式就更為方便，只要簡單地用復變數來代替微分方程中的，代替，…就可得到。
應用拉氏變換法解微分方程的步驟如下：
（1）對線性微分方程中每一項進行拉氏變換，使微分方程變為復變數的代數方程（稱為變換方程）
（2）求解變換方程，得出系統輸出變數的象函式表示式。
（3）將輸出的象函式表示式展開成部分分式（部分分式展開法參見附錄二）。
（4）對部分分式進行拉氏反變換（可查拉氏變換表），即得微分方程的全解。
舉例說明
【例2-7】 設網路如圖2-24所示，在開關閉合之前，電容上有初始電壓。試求將開關瞬時閉合後，電容的端電壓（網路輸出）。
解開關瞬時閉合，相當於網路有階躍電壓·輸入。故網路微分方程為
消去中間變數，得網路微分方程為
2-44）
對上式進行拉氏變換，得變換方程
將輸入階躍電壓的拉氏變換式代入上式，並整理得電容端電壓的拉氏變換式
可見等式右邊由兩部分組成，一部分由輸入所決定，另一部分由初始值決定。
將輸出的象函式展成部分分式：
或2-45）
等式兩邊進行拉氏反變換，得
2-46）
此式表示了網路在開關閉合後輸出電壓的變化過程。
比較方程（2-45）和（2-46）可見，方程右端第一項取決於外加的輸入作用·1，表示了網路輸出響應的穩態分量，也稱強迫解；第二項表示的瞬態分量，該分量隨時間變化的規律取決於系統結構參量、所決定的特徵方程序（即）的根。顯然，由於其特徵根為負實數，則瞬態分量將隨著時間的增長而衰減至零。第三項為與初始值有關的瞬態分量，其隨時間變化的規律同樣取決於特徵根，當初始值時，則第三項為零，於是就有
2-47）
網路的階躍響應及其各組成部分的曲線如圖2-25所示。
拉普拉斯變換
複習拉普拉斯變換的有關內容 1 複數有關概念 1 複數 復函式 複數復函式 例 2 複數模 相角 3 複數的共軛 4 解析 若f s 在s點的各階導數都存在，稱f s 在s點解析。2 拉氏變換定義 3 幾種常見函式的拉氏變換 1.單位階躍 2.指數函式 3.正弦函式 4 拉氏變換的幾個重要定理 1 ...
傅利葉變換與拉普拉斯變換的區別與聯絡
摘要通過對復變函式的學習，我基本上了解了傅利葉變換與拉普拉斯變換的基本理論知識，並且知道了他們在數學 物理以及工程技術等領域中有著廣泛的應用，傅氏變換與拉氏變換存在許多類似之處，都能夠在解決廣義積分 微分積分方程 偏微分方程 電路理論等問題中得到應用。下面通過對他們做一些比較研究，來更清楚地認識他們...
傅利葉變換拉普拉斯變換的物理解釋及區別
想一想這個問題 給你很多正弦訊號，你怎樣才能合成你需要的訊號呢？答案是要兩個條件，乙個是每個正弦波的幅度，另乙個就是每個正弦波之間的相位差。所以現在應該明白了吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。傅利葉變換用於訊號的頻率域分析，一般我們把電訊號描述成時間域的數學模型，而數字訊號處理對訊號的頻率...