摘要通過對復變函式的學習，我基本上了解了傅利葉變換與拉普拉斯變換的基本理論知識，並且知道了他們在數學、物理以及工程技術等領域中有著廣泛的應用，傅氏變換與拉氏變換存在許多類似之處，都能夠在解決廣義積分、微分積分方程、偏微分方程、電路理論等問題中得到應用。下面通過對他們做一些比較研究，來更清楚地認識他們。
關鍵詞：兩種積分變換積分與微分方程電路理論
正文（一） 前言：
1、 傅利葉變換與拉普拉斯變換都屬於積分變換，是兩種常見的數學變換手段，而所謂的積分變換就是通過積分運算，把乙個函式變成另乙個函式的變換，其作用就是將複雜的函式運算變成簡單的函式運算，當選取不同的積分域和變換核時，就得到不同名稱的積分變換，傅利葉變換與拉普拉斯變換就是因取不同的積分域與變換核得來的。
2、 傅利葉變換是拉普拉斯變換的特例。拉普拉斯變換是將時域訊號變換到「復頻域」，與變換的「頻域」有所區別。 拉普拉斯變換主要用於電路分析，作為解微分方程的強有力工具（將微積分運算轉化為乘除運算）。
傅利葉變換則隨著fft演算法的發展已經成為最重要的數學工具應用於數字訊號處理領域。
（二）提出問題：
已知傅利葉變換是拉氏變換的特例，如何用例子進一步說明他們的關係，如何運用它們解決積分與微分方程和電路問題。
（三）解決問題：
傅利葉變換與拉普拉斯變換兩種變換的性質有許多相似之處，故兩者在求解問題時也會有許多類似，另外，由於傅氏變換的積分區間為（-∞，+∞），拉氏變換的積分區間為(0，+∞），兩者又會在不同的領域中有著各自的應用。下面通過一些具體的例子來對兩種變換的應用做一些研究：
3.1 兩種積分變換在求解積分、微分方程中的應用
例1 求解積分方程
其中都是已知的函式，且、和的傅利葉變換都存在。
分析：該積分方程中的積分區間是，故首先應考慮用傅利葉積分變換法求解。積分項內是函式與的卷積，對方程兩邊取傅氏變換，利用卷積性質便可以很方便的求解該問題。
解：設由卷積定義可知。因此對原積分方程兩邊取傅利葉變換，可得
因此有由傅利葉逆變換求得原積分方程的解為
同樣，應用拉普拉斯變換的卷積性質也可以用來求解積分方程。
例2 求積分方程的解
分析：該積分方程中的積分區間是，考慮到拉氏變換卷積性質中函式的積分區間是，故對原方程兩邊取拉普拉斯變換，應用相應的卷積性質便可求出該積分方程的解。
解：設，則有，，。對原方程兩邊取拉普拉斯變換，由卷積定理得
整理得取其逆變換可得
，此即原積分方程的解。
例3 求解線性方程組
分析：利用傅氏變換與拉氏變換性質中的微分性質，可以將微分方程轉換為像函式的代數方程，使得問題得以解決。但是用傅利葉變換求解問題時，要求所出現的函式必須在內滿足絕對可積（）這個條件。
但是本題中的、、都不滿足這個條件，故不能用傅氏變換進行求解。我們採用拉氏變換對該方程組進行求解。
解：設，對方程組進行拉氏變換得到解得，
拉氏逆變換，故
即為原方程組的解。
3.2 兩種積分變換在電路理論中的應用
例4 如圖所示的rl電路中，，，，求開關s閉合後迴路中的電流。
解：由基爾霍夫電壓定律可得迴路方程為
代入數值，化簡為
該方程是一階非齊次線性微分方程，用高等數學的知識進行求解的話，要先求出與之對應的齊次方程的通解與非齊次方程的乙個特解。求解步驟比較繁瑣，這裡我們先採用傅利葉變換法進行求解。設，由傅氏變換的微分性質可得。
又（在時電壓為0），代入上述方程中得
＜整理得
對上式取傅氏逆變換得
此即電路中的電流。
1該方程也可以用拉氏變換法進行求解。設，由拉氏變換的微分性質可得（時電流）。對化簡後的方程兩邊去拉氏變換，得到
整理得再對上式取拉氏逆變換，得到電路中的電流為
可以看出用傅氏變換與拉氏變換兩種方法求解的結果是完全相同的。
《訊號與系統》、《電路分析》等課程中常常會碰到各種訊號的問題，一般來說傅利葉變換法適用於對連續時間系統的分析，這種方法也被稱為頻域分析法；而拉普拉斯變換法被稱為系統的復頻域分析，這種方法的適用範圍更加廣泛，以致於在相當長的時期內，人們幾乎無法把電路理論與拉普拉斯變換分開來討論。下面我們再舉兩個用拉氏變換法解決電路問題的例子：
例5 如圖所示，電路為完全耦合互感電路，互感量，電阻,電壓，開關s閉合前。求開關閉合後電路中的電流。
圖2解：由基爾霍夫電壓定律可列出電路的微分方程如下：
代入資料，得
此方程組為二元一階微分方程組，採用高等數學的知識很難得出結果來，這裡採用拉氏變換法求解。令，，對上述微分方程組兩邊取拉氏變換，考慮到初始條件，可得
解得對其取拉氏逆變換，得到電路中的電流為
推廣應用
傅利葉變換在物理學、數論、組合數學、訊號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構力學等領域都有著廣泛的應用，例如在訊號處理中，傅利葉變換的典型用途是將訊號分解成幅值分量和頻率分量應用拉普拉斯變換解常變數齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，是問題得以解決。在工程學上拉普拉斯的重大意義在於將乙個訊號從時域上轉換為復頻域上來表示，**性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。
總結通過半個多月的蒐集資料，我對復變函式有了乙個較全面地了解，對於復變函式在實際生活中的應用也知道了不少，尤其是拉普拉斯變換與傅利葉變換的應用，它解決了一些我們日常生活中不能解決的問題，為物理、數學和一些工程技術的發展起到了促進作用，復變函式還有許多知識需要我們去仔細探索與研究，通過寫這篇**，我感覺收穫很多，不僅是知識方面的提高，而且也教會了我如何去靠自己解決問題，鍛鍊了我自主學習的能力，相信在以後在寫作方面一定有了提高。
致謝這篇**的寫成，光靠我乙個人的努力是不夠的，在學習復變函式的過程中，秦老師耐心教導我們，每節課都認認真真的對待，對於我們不理解的問題都會耐心的講解，這令我們每乙個學生都非常感動和傾佩，感謝有這樣乙個兢兢業業的老師陪我們走了半個學期，他教給我們的不光是知識，而且是一種對待事物的態度；另外感謝的就是一直陪在我身邊的同學們，我在寫**中遇到好多問題，比如說公式上的書寫，知識上的不理解，他們都耐心的幫我去解決，我真的慶幸有這麼一幫朋友，他們真的幫了我很多，也讓我成長了很多。我以後一定會好好努力的。
參考文獻
＜＜復變函式西安高等出版社
＜＜電路＞＞第五版原著：邱光源
＜＜高等數學同濟大學數學系，高等教育出版社
＜＜積分變換＞＞第五版高等教育出版社徐娟.拉普拉斯＜＜＜傅利葉變換＞＞冷建華清華大學出版社
＜＜拉普拉斯變換＞＞徐娟黑龍江科技資訊
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