一、概念
令表示簡單圖，其中是的頂點集，是的邊集。表示的與點鄰接點的集合，簡記為。表示點的度，簡記為。
表示的最大度。的鄰接矩陣是乙個的矩陣，其中當與鄰接時；否則。的最大特徵值稱為的譜半徑。
令是的度矩陣，則稱為圖的拉普拉斯矩陣，的拉普拉斯特徵多項式為，記為或者。 稱為圖的無號拉普拉斯矩陣。 由於、和是實對稱矩陣，所以它們的特徵值都為實數。
、和的最大特徵值分別叫做的譜半徑（記為），拉普拉斯譜半徑（記為）和無號拉普拉斯譜半徑（記為）。通常我們把具有個點的圈，路，星圖分別記為和。
連通圖的兩點和之間的距離記為。連通圖的直徑為中任意兩點間距離的最大值，簡記為。二部圖，又稱二分圖，偶圖。
指定點可以分成兩個不相交的集使得在同乙個集內的頂點不相鄰（沒有共同邊）的圖。正則圖指的是各頂點的度均相同的圖。
令表示頂點個數為，直徑為的圖的集合。同理，定義如上。如果並且具有最小無號拉普拉斯譜半徑，則稱是中的乙個極圖。表示由圈上某一點引出一條長為的懸掛路所得到的圖。
設。令是階連通圖的乙個頂點，是由圖在頂點引出兩條
長度分別為和的懸掛路得到的圖。
二、摘要
圖的譜理論是圖論與組合數學論的乙個重要研究領域，包括圖的鄰接譜，拉普拉斯譜，無號拉普拉斯譜和規範拉普拉斯譜四個方面的內容。圖譜理論在量子化學、物理、電腦科學、通訊網路及資訊科學技術中均有廣泛應用。本文主要運用代數和幾何的方法對圖的無號拉普拉斯譜進行研究，特別是對具有給定直徑的圖的最小無號拉普拉斯譜半徑進行了研究。
主要內容如下：
（1）分類概括總結圖的各種矩陣的譜半徑的國內外研究成果；
（2）研究得出了直徑的圖的最小無號拉普拉斯譜半徑；
（3）研究得出了直徑的圖的最小無號拉普拉斯譜半徑；
（4）研究得出了直徑為的圖的最小無號拉普拉斯譜半徑。
三、研究現狀
van dam e r和kooij r e (2007)在文獻[the minimal spectral radius of graphs with a given diameter]中給出了直徑為的具有最小譜半徑的圖，並提出以下猜想：
猜想1 對於乙個固定的整數，當直徑，頂點為時，圖具有最小譜半徑。
袁喜英等(2008)在文獻[the minimal spectral radius of graphs of order with diameter]中證明了時該猜想成立並給出當時，是直徑且具有最小譜半徑的圖；進一步，cioaba s m等(2010) 在文獻[asymptotic on the spectral radius and the diameter of graphs]中證明了直徑時猜想成立並證明該猜想在時不成立；belardo f等(2009) 在文獻[trees with minimal index and diameter at most four. discrete mathematics]中確定了直徑的具有最小譜半徑的圖. 而對圖的拉普拉斯譜半徑，liu r-f等(2009)在文獻 [the minimal laplacian spectral radius of trees with a given diameter]中給出了直徑為的具有最小拉普拉斯譜半徑的樹。
四、本文主要研究內容
本文對圖的無號拉普拉斯譜半徑進行了研究，給出了頂點個數為，直徑為的具有最小無號拉普拉斯譜半徑的圖，作為推論，給出了直徑為的具有最小拉普拉斯譜半徑的樹。基本思路是首先將直徑為的具有最小無號拉普拉斯譜半徑的圖轉化為樹，而直徑為的情況稍微簡單一點，用一些已知引理即可證明，最後對於直徑為的樹我們將其分為三類並找出每一類中唯一乙個具有最小無號拉普拉斯譜半徑的樹，最後運用圖的剖分，嫁接等運算及特徵多項式技巧找出這三類樹中所給出的三個最小無號拉普拉斯譜半徑中最小的乙個。
4.1直徑的圖的最小無號拉普拉斯譜半徑
引理4.1 設，若是中的乙個極圖，則是一棵樹。
引理4.2 設，若是中的乙個極圖，則是一棵樹。
引理4.3，等號成立當且僅當為二分圖。
引理4.4 在中，樹和具有最小拉普拉斯譜半徑。
引理4.5 在中，樹具有最小拉普拉斯譜半徑。
由引理4.1，引理4.3和引理4.4可得如下結果：
定理4.6 在中，樹和具有最小無號拉普拉斯譜半徑。
由引理4.2，引理4.3和引理4.5可得如下結果：
定理4.7 在中，樹具有最小無號拉普拉斯譜半徑。
定理4.8 在中，具有最小無號拉普拉斯譜半徑。
4.2直徑的圖的最小無號拉普拉斯譜半徑
記個點的雙星圖為，其中。
引理4.9 當時，雙星圖具有最小拉普拉斯譜半徑。
由引理4.3和4.9可得如下結果：
定理4.10 當時，雙星圖具有最小無號拉普拉斯譜半徑。
perron-frobenius定理若方陣，不可約，則，等號成立當且僅當b=a。
由perron-frobenius定理可得如下結果：
定理4.11 當時，具有最小無號拉普拉斯譜半徑。
定理4.12 當時，具有最小無號拉普拉斯譜半徑。
4.3 直徑為的圖的最小無號拉普拉斯譜半徑
引理4.13是乙個連通圖，是內路上的一條邊，是剖分邊得到的圖，則。
由perron-frobenius 譜半徑比較定理可得如下結果：
引理4.14 設是乙個連通圖，如果是的真子圖，則有。
由引理4.13和引理4.14可得：
引理4.15 頂點個數為10，圈長不超過8的單圈圖中，具有最小無號拉普拉斯譜半徑的乙個圖且。
由引理4.13、引理4.14、引理4.15可得：
引理4.16 設，若是中的乙個極圖，則是一棵樹。
由引理4.13和引理4.14可得：
引理4.17 設，若樹是中的乙個極圖，則且。
引理4.18 令是乙個頂點數為的連通二分圖，如上定義，
則當時，。
由引理4.13、引理4.14、引理4.18可得：
定理4.19 （1）設，則樹（見圖4-1）是中的唯一極圖；
2）設，則樹（見圖4-2）是中的唯一極圖。
圖4-1 樹
圖4-2 樹
由引理4.13和引理4.14可得：
定理4.20 設，則。
引理4.21 設和是兩個頂點不交的圖，是的點，是的點。 用一條邊連線則形成乙個新圖，記為，
則，其中表示去掉點對應的行和列後的子陣對應的特徵多項式。
引理4.22令，，，則
（1）；
（2） ；
（3）。
由4.22可得：
推論4.23 設，則有
（1）；
（2）；
（3）。
由引理4.14、引理4.3、引理4.21、引理4.22、引理4.23可得：
定理4.24 令如圖4-3，當，時，有。
圖4-3 樹
由引理4.13和4.14和定理4.24可得：
定理4.25 設，則樹(見圖4-4) 是中的唯一極圖。
圖4-4 樹
引理4.13、引理4.14、引理4.18可得：
定理4.26設，則。
由定理4.20和定理4.26可得：
定理4.27是中的唯一極圖。
由引理4.3和定理4.27，我們有如下結果：
推論4.28是直徑為,頂點數為的樹中拉普拉斯譜半徑最小的唯一樹。
五、攻讀碩士期間取得的學術成果
[1] ji-ming guo, xiao-li wu. on the distribution of laplacian eigenvalues of a grap.已被acta mathematica sinica, english series錄用.
[2]吳曉麗,姜靜靜,郭繼明,譚尚旺.直徑為的圖的最小無號拉普拉斯譜半徑.已被數學學報中文版錄用.
[3]姜靜靜,吳曉麗,譚尚旺,郭繼明.直徑為的譜半徑第二小的連通圖.已被廣西科學錄用.
六、致謝
本文是在我的導師郭繼明老師的悉心指導下完成的。郭老師治學嚴謹，學識淵博，學術方面有很深的造詣。近三年的學習和生活中，在郭老師的悉心指導和同學的幫助下我學到了許多寶貴的知識和經驗，這將使我終生受益。
我的研究生生活也即將劃上句號，數學學院的領導、各位老師和同學們給予了我很大的幫助和支援，在此一併表示感謝。
同時，感謝我的父母以及親朋好友對我大學七年的無私關愛和一貫的支援！
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