拉普拉斯變換
第一節拉普拉斯變換的概念
一、 主要應用
1、 建立傳遞函式概念，以便於分析系統的動靜態特性
2、 求解系統的微分方程，得出時間響應。
二、 拉普拉斯變換的數學表示式
定義：設函式當時有定義，且廣義積分
在s的某一區域內收斂，則由此積分確定的引數為s的函式
叫做函式的變拉普拉斯換，記作
函式f（） 也可叫做的像函式。
若f（s）是的拉氏變換，則稱是f（s）的拉氏逆變換（或叫做的原函式），記作
說明：一般控制系統的數學模型均能滿足拉氏變換條件。
（1） t在內，≡0
（2） 在t≥0的任意有限區間內，是分段連續的
（3） 函式的積分形式存在並收斂
即 ＜∞
例1 求指數函式（是常數）的拉氏變換。
解有 此積分在s時收斂，有
所以例2 求單位階梯函式
的拉氏變換。
解 此積分在時收斂，且有
所以例3 求（為常數）的拉氏變換。
解 例4 求正弦函式的拉氏變換。
解 同樣可算得余弦函式的拉氏變換
下面我們給出狄拉克函式的拉氏變換。
在許多實際問題中，常常會遇到一種集中在極短時間內作用的量，這種瞬間作用的量不能用通常的函式表示。為此假設
其中是很小的正數。當時，的極限
叫做狄拉克函式，簡稱函式。
的圖形如圖11-1所示。
顯然，對任何，有
所以規定
工程技術中常將叫做單位脈衝函式。
例5 求狄拉克函式的拉氏變換。
解先對作拉氏變換
的拉氏變換為
用羅必達法則計算此極限，得
所以。第二節拉氏變換的性質
本節介紹拉氏變換的幾個主要性質，它們在拉氏變換的實際應用中都很重要。這些性質都可由拉氏變換的定義及相應的運算性質加以證明，這裡不再給出。
性質1（線形性質或迭加性質） 若、是常數，且
則性質1表明，函式的線形組合的拉氏變換等於各函式的拉氏變換的線形組合。
性質1可以推廣到有限個函式的線形組合的情形。
例1 求函式的拉氏變換。
解由性質1，有
性質2（平移性質或位移定理） 若，則
性質2表明，像原函式乘以，等於其像函式作位移，因此性質2稱為平移性質。
例2 求及。
解由平移性質及
得性質3（延滯定理） 若
則函式與相比，滯後了個單位，若表示時間，性質3表明，時間延遲了個單位，相當於像函式乘以指數因子，如圖11-2所示。
例3 求函式
的拉氏變換。
解由及性質3可得
例4 求如圖11-3所示的分段函式
的拉氏變換。
解由得性質4（微分性質） 若 ，則
性質4表明，乙個函式求導後取拉氏變換，等於這個函式的拉氏變換乘以引數再減去這個函式的初值。
性質4可以推廣到函式的階導數的情形。
推論若，則
特別地，若，則
11-2）
性質4使我們有可能將的微分方程化作的代數方程。因此性質4在解微分方程中有重要作用。
例5 利用微分性質求。
解令，則
，， ，
由式（11-2）得
即移項並化簡，即得
例6 利用微分性質，求的拉氏變換。其中是正整數。解由且
由式（11-2），有
而即得所以性質5（積分定理） 若，則
性質5表明，乙個函式積分後取拉氏變換，等於這個函式的拉氏變換除以引數。
性質5也可以推廣到有限次積分的情形
除了上述五個性質外，拉氏變換還有一些性質，一並列於表11-1。另外，我們並不總是用定義求函式的拉氏變換，還可以查表求拉氏變換。現將常用函式的拉氏變換列於表11-2以供查用。
例7 查表求。
解由表11-2的9得
再由表11-1的9得
例8 求。
解由得查表，所以第三節拉氏變換的逆變換
前兩節我們討論了由已知函式求它的像函式的問題。本節我們討論相反問題——已知像函式，求它的原函式，即拉氏變換的逆變換。
在求像原函式時，常從拉氏變換表11-2中查詢，同時要結合拉氏變換的性質。因此把常用的拉氏變換的性質用逆變換的形式列出如下。
設 ， ，
1． 線形性質
2． 平移性質
3． 延滯性質
例1求下列函式的拉氏逆變換：
（1） （2）
（3） （4）
解 （1）由表11-2中的5，取
得（2）由表11-2中的7，取
得（3）由性質1及表11-2中的2、3
得（4）由性質1及表11-2中的9、10
得例2求的拉氏逆變換。
解在用拉氏變換解決工程技術中的應用問題時，經常遇到的像函式是有理分式。一般可將其分解為部分分式之和，然後再利用拉氏變換表求出像原函式。
第四節拉氏反變換的部分分式展開法
講述要點：1. d(s)含單根（包括共軛復根）的部分分式展開；
含重根的部分分式展開。
引言： 當進行反變換的復頻域函式並不剛好如表所列時，則需經過一定的處理（化大為小，各個擊破），變換成如表中所列各式的線性組合。
部分分式展開法：
在電路理論中集中引數電路中的電壓電流的象函式往往是s的有理函式，且一般為有理分式，如
這類有理函式可按部分方式展開法處理，而避免按式進行復變函式的積分
設 n(s) ， d(s)為實係數多項式，
1．d(s)僅含單根
則其中 s1,s2,sk…sn 為分母多項式d(s)的單根，又稱為d(s)的單零點，
當s→sk時 f(s)→∞ ∴稱為f(s)的單極點
將f(s) 展開為部分分式
其中 a1,a2…ak…an為待定係數
為求ak將上式兩端同乘（s-sk）,
(s-sk)f(s)=
這個等式在s為任意數值時均成立，然後令 s=sk
則左端表面上存在（s-sk），實際應與d(s)中的因式（s-sk）約去！
將k從1算到n,便可確定所有的待定係數，於是
2． d(s)含有重根
設 s1為乙個單根, s2為q重根
求a1： 與求單根時相同，即a1=(s-s1)f(s)
求：與求單根類似，兩端同乘
令 s = s2
則 求：
a2(q-1)可確定如下：
同樣可得
進而反變換例3 求的拉氏逆變換。
解先將分解為部分分式之和
用待定係數法求得
所以則有
例4求的拉氏逆變換。
解設用待定係數法求得
所以則有例5求的拉氏逆變換。
解先將分解為部分分式之和
設用待定係數法，求得
所以於是
例6．求的原函式f(t)
解: n(s)=4s+5
d(s)=s2+s+6=(s+2)(s+3) 則有 f(s)=
d(s)的根為 s1=-2 , s2=-3
則故 例7：求的反變換。
解： m＞n 這是假分式應分子除以分母得到s 的多項式與其分式的和。用多項式除法可得
例8：求的原函式f(t)
解1: d(s)的根為
即d(s)=(s+25-j315)(s+25+j315) 則展開式為，待定係數為
a1 與a2 共軛，其原因是 n(s)的係數為實數。
欠阻尼衰減振盪
解9： 當極點為
可將分母多項式配成完全平方
查表反變換，序號19：
例10：已知求原函式
解： d(s)=s3(s+1)2 有三重根 s = 0 = 重根 s = -1
設其中課堂練習：求的原函式f(t)
解：通分
將分子整理後與n(s)比較係數可得
解得 a=1 c=-1 b=0 d=0
與確定a，b，c，d類似，可確定e，f
小結：(1)．，其中n(s)和d(s)一般為s的多項式。當n(s)中s的最高次數等於或大於d(s)中s的最高次數時，則應該用多項式的除法將n(s)除以d(s)得到
(2)．d(s)含有乙個或乙個以上關於變數s的二次三項式，且二次三項式的根為兩個共軛復根時，例如
其中當二次三項式的判別式 b2- 4 c< 0 時，其根必為兩個共軛復根，原函式必含振盪函式，此時可將二次三項式 s 2 + b s + c 配方為[s+(b/2)]2+[c-(b/2)2]= [s+(b/2)]2+,然後根據拉普拉斯變換表中的「第12和13變換對」進行部分分式展開，例如
查表可得
(3)．如果d(s)中既含單根（包括含共軛復根）又含重根時，則應將上述幾種處理方法綜合應用才能得到部分分式展開式。
線性動態電路微分（積分）方程的拉氏變換法求解
講述要點：1. 根據電路列出微分積分方程；
2.應用線性組合定理，微分定理，積分定理等，對微分積分方程進行拉氏變換；
拉普拉斯變換
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