遙感與數字地球研究所徐煥 201428007010031
數學物理方程這門課主要是為非數學專業理工科研究生的公共選修課，介紹偏微分方程的基本解法，變分法的基本思想和在求解常微偏微分方程中的應用, 提高學生解決實際問題的數學能力。通過學習我基本上在原本的基礎上對於定解問題、行波法、分離變數法等基本掌握，對於基本解方法和變分法等問題有了初步的熟悉和運算。具體而言本課程具體內容總結如下：
第一章定解問題基本概念；三類基本方程；定解問題：第二章行波法 duhamel原理；一維波動問題；空間波動方程：第三章分離變數法分離變數法的一般原則；本徵值問題；曲線座標系；特殊函式：
第四章基本解方法熱傳導方程的基本解和初值問題；波動方程的基本解和初值問題；場位方程第一；邊值問題的格林函式：第五章變分法泛函求導；泛函的極值問題；euler-lagrange 方程；lagrange 乘子理論。現在具體分析每一章具體內容，著重分析泊松方程的格林函式法，內容如下：
第一章講了數學模型的建立以及方程的定解條件和定解問題。在研究物理﹑力學和工程技術的過程中會遇到一些問題，要求反映物理模型的某種規律，這就需要建立起相應的數學模型，然後運用那個數學理論和方法求解這個數學模型，掌握有關物理量的變化規律。本章首先講了偏微分方程的一般概念，並討論了在偏微分方程理論中經常遇到的線性運算元和對於線性偏微分方程的解成立的三個疊加原理。
然後介紹了三大類二階線性偏微分方程：雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程，它們的典型代表分別為：波動方程、熱傳導方程和拉普拉斯方程（泊松方程）。
在介紹波動方程時，推導出了一維波動方程、m維波動方程及梁的橫振動方程。從弦的橫振動方程的推導過程可以知道，物體的振動產生了波的傳播。熱傳導方程描述了熱傳導現象。
拉普拉斯方程描述了電場中的勢的分布規律。為了描述在特定條件下的物理狀態的規律，不僅需要建立方程，還需要附加反映邊界狀態的邊界條件以及與初始狀態有關的初始條件。
第二章介紹了行波法和duhamel原理。在求解常微分方程時，一般先求方程通解，通解含有任意常數，再利用初始條件確定這些常數。行波法就是仿照這個辦法求解偏微分方程定解問題。
先求偏微分方程的通解，而通解含有任意函式，再利用定解條件確定這些函式。行波法是求解無界域內定解問題的有效方法，但是只適用於很少的定解問題，如波動方程。
第三章介紹了求解偏微分方程最常見、最基本的方法—分離變數法。分離變數法的物理背景是波動現象，但是它不僅適用於波動方程，也適用於熱傳導方程、拉普拉斯方程以及某些形式更複雜的方程和方程組。分離變數法的基本思想是：
利用變數分離形式的特解，將求解偏微分方程的定解問題化為求解常微分方程的問題，再利用定解條件和有關數學理論和方法求得定解問題的解。在利用分離變數法求解定解問題的過程中，都會涉及到求解特徵值的問題。乙個線性變換的乙個特徵向量（本徵向量）是乙個非退化向量，其方向在該變換下不變。
該向量在該變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。
第四章介紹了基本解法。熱傳導方程的基本解和初值問題； 熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導方程。熱傳導方程式（或稱熱方程）是乙個重要的偏微分方程，它描述乙個區域內的溫度如何隨時間變化。
熱傳導在三維的等方向均勻介質裡的傳播可用方程式表達，其中u =u(t, x, y, z) 表溫度，它是時間變數 t 與空間變數 (x,y,z) 的函式。 /是空間中一點的溫度對時間的變化率。 uxx, uyy 與 uzz 溫度對三個空間座標軸的二次導數。
k決定於材料的熱傳導率、密度與熱容。如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程唯一解，必須指定 u 的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。
格林函式，又稱點源影響函式，是數學物理中的乙個重要概念。格林函式代表乙個點源在一定的邊界條件和（或）初始條件下所產生的場。知道了點源的場，就可以用迭加的方法計算出任意源所產生的場。
一、 泊松方程的格林函式法
為了得到以格林函式表示的泊松方程解的積分表示式，需要用到格林公式，為此，我們首先介紹格林公式。
設u（r）和v（r）在區域 t 及其邊界上具有連續一階導數，而在 t 中具有連續二階導數，應用向量分析的高斯定理將曲面積分
化成體積積分
（12-1-1）
這叫作第一格林公式。同理，又有
12-1-2）
（12-1-1）與（12-1-2）兩式相減，得
亦即12-1-3）
表示沿邊界的外法向求導數。（12-1-3）叫作第二格林公式。
現在討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問題。泊松方程是
12-1-4）
第一、第
二、第三類邊界條件可統一地表為
12-1-5）
其中 （m）是區域邊界上的給定函式。＝0， ≠0為第一類邊界條件， ≠0，＝0是第二類邊界條件，、 都不等於零是第三類邊界條件。泊松方程與第一類邊界條件構成的定解問題叫作第一邊值問題或狄里希利問題，與第二類邊界條件構成的定解問題叫作第二邊值問題或諾依曼問題，與第三類邊界條件構成的定解問題叫作第三邊值問題。
為了研究點源所產生的場，需要找乙個能表示點源密度分布的函式。§5.3中介紹的函式正是描述乙個單位正點量的密度分布函式。
因此，若以v（r，r0）表示位於r0點的單位強度的正點源在r點產生的場，即v（r，r0）應滿足方程
12-1-6）
現在，我們利用格林公式匯出泊松方程解的積分表示式。以v（r，r0）乘（12-1-4），u（r）乘（12-1-6），相減，然後在區域t中求積分，得
（12-1-7）
應用格林公式將上式左邊的體積分化成面積分。但是，注意到在r＝r0點，v具有函式的奇異性，格林公式不能用。解決的辦法是先從區域t中挖去包含r0的小體積，例如半徑為的小球k（圖12-1）， 的邊界面為 。
對於剩下的體積，格林公式成立，
（12-1-8）
把（12-1-8）代入挖去k 的（12-1-7），並注意r≠r0，故 （r－r0）＝0，於是
（12-1-9）
當，方程（12-1-6）的解 v（r，r0）—→ 位於點r0而電量為 － 0 的點電荷的靜電場中的電勢，即－1／4。令 →0，得
（12-1-9）右邊—→
左邊的左邊的
（12-1-10）
這樣，（12-1-7）成為
12-1-11）
（12-1-11）稱為泊松方程的基本積分公式。
（12-1-11）將（12-1-4）的解u用區域 t 上的體積分及其邊界上的面積分表示了出來。那麼，能否用（12-1-11）來解決邊值問題呢？我們看到，（12-1-11）中需要同時知道u及在邊界上的值，但是，在第一邊值問題中，已知的只是 u 在邊界上的值；在第二邊值問題中，已知的只是在邊界上的值。
在第三邊值問題中，已知的是u和的乙個線性關係在邊界上的值，三類邊界條件均未同時分別給出u和的邊界上的值。因此，我們還不能直接利用（12-1-11）解決三類邊值問題。
其實，這裡距離問題的解決已經很近了。原來，對於函式v（r，r0），我們還只考慮其滿足方程（12-1-6）。如果我們對v（r，r0）提出適當的邊界條件，則上述困難就得以解決。
對於第一邊值問題，u在邊界上的值是已知的函式 （m）。如果要求v滿足齊次的第一類邊界條件
12-1-12）
則（12-1-11）中含的一項等於零。從而不需要知道在邊界上的值。滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-12）的解稱為泊松方程第一邊值問題的格林函式，用g（r，r0）表示。
這樣，（12-1-11）式成為
（12-1-13）
對於第三邊值問題，令v滿足齊次的第三類邊界條件，
12-1-14）
滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-14）的解稱為泊松方程第三類邊值問題的格林函式，也用g（r，r0）表示。以g（r，r0）乘（12-1-5）式兩邊，得
又以 u 乘（12-1-14），並以 g 代替其中的 v，得
將這兩式相減，得
將此式代入（12-1-11），得
（12-1-15）
至於第二邊值問題，表面看來，似乎可以按上述同樣的辦法來解決，即令g為定解問題
12-1-16）
12-1-17）
的解，而由（12-1-11）得到
（12-1-18）
可是，定解問題（12-1-16）～（12-1-17）的解不存在。這在物理上是容易理解的：不妨把這個格林函式看作溫度分布。
泛定方程（12-1-16）右邊的函式表明在所圍區域 t 中有乙個點熱源。邊界條件（12-1-17）表明邊界是絕熱的。點熱源不停地放也熱量。
而熱量又不能經由邊界散發出去，t 裡的溫度必然要不停地公升高，其分布不可能是穩定的。這就需要引入推廣的格林函式。對於三維空間，
式中vt 是t 的體積。對於二維空間，
式中 at 是 t 的面積，方程右邊新增的項是均勻分布的熱匯密度，這些熱匯的總體恰好吸收了點熱源所放出的熱量，不多也不少。
（12-1-13）和（12-1-15）的物理解釋有乙個困難。公式左邊u的宗量r0 表明觀測點在r0，而右邊積分中的f（r）表示源在r，可是，格林函式g（r，r0）所代表的是r0的點源在r點產生的場。這個困難如何解決呢？
原來，這個問題裡的格林函式具有對稱性g（r，r0）＝g（r0，r），將（12-1-13）和（12-1-15）中的r和r0對調，並利用格林函式的對稱性，（12-1-13）成為
（12-1-19）
這就是第一邊值問題解的積分表示式。（12-1-15）成為
（12-1-20）
這就是第三邊值問題解的積分表示式。
（12-1-19）和（12-1-20）的物理意義就很清楚了，右邊第乙個積分表示區域t中分布的源f（r0）在r點產生的場的總和。第二個積分則代表邊界上的狀況對r點場的影響的總和。兩項積分中的格林函式相同。
這正說明泊松方程的格林函式是點源在一定的邊界條件下所產生的場。
現在來證明格林函式的對稱性。在 t 中任取兩個定點r1和r2。以這兩點為中心，各作半徑為的球面 1和 2。
從 t 挖去 1和 2 所圍的球k1和k2。在剩下的區域t－k1－k2上，g（r，r1）和g（r，r2）並無奇點。以u＝g（r，r1），v＝g（r，r2）代入格林公式（12-1-3）
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