第１６卷第６期２０１０年１２月
上海大學學報（自然科學版）
二階非散度型橢圓方程解的區域性正則性估計
姚鋒平，李煥弟
（上海大學理學院，上海２００４４４）
摘要：得到一類具有小ｂｍｏ係數的二階線性非散度型橢圓方程解在ｏｒｌｉｃｚ空間中的區域性正則性估計，並進一步給出該結論的乙個特例．
關鍵詞：非散度型；橢圓方程；正則性估計；小ｂｍｏ係數；ｏｒｌｉｃｚ空間
中圖分類號：ｏ １７５．２３
文獻標誌碼：ａ
文章編號
假設力是ｒ （ｎ＞２）中的有界開集，本工作主要研究下述二階線性非散度型線性橢圓方程：
。 （）＝．
型橢圓方程困難得多．因為在一致橢圓條件下，很容
易得到式問題解的 『『估計以及
（）＝），
（１）解的存在性，但是，在同樣的條件下，式問題在衛空間中可能沒有解．ｃａｌｄｅｒ６ｎ等首先利用奇異積分理論研究了ｐｏｉｓｓｉｏｎ方程解的
（１（】，２，…，）∈
式（１）及以下各式均遵守求和約定，對重複腳標ｉ，
將從１至ｎ求和．另外，係數矩陣ａ：｛ａ （）｝為對稱矩陣，且滿足一致橢圓條件
＜ｐ＜∞）估計．當ａ ∈ｃ（）時，可得∞）估計以及
一（１＜ｐ＜
解的存在性 ．當係數不連續時，
當≤ａｆｆ。，
ｖ ∈力，∈ｒ ，
般來說，正則性只能在ｐ＝２的乙個適當鄰域
內得到ｌ６ｊ．王月山［運用極大函式理論、ｖｉｔａｌｉ覆蓋引理以及緊方法得到，當係數矩陣ａ滿足小ｂｍｏ條件時，如果式（１）的解ｕ滿足區域性。估
式中，ａ＞０為固定常數．
對二階線性散度型橢圓方程
很多學者廣泛研究了其 』估計¨。ｊ．但是，對於二階非散度型橢圓方程式（１），研究其估計要比散度
收稿日期
那麼，「滿足區域性
（ｐ＞２）估計
**專案：國家自然科學**資助專案教育部博士點新教師**資助專案
通訊作者：姚鋒乎（１９７８～），男，講師，博士，研究方向為偏微分方程
第６期姚鋒平，等：二階非散度型橢圓方程解的區域性正則性估計６３ｌ
ｂ４ｒｃ
（３）則稱咖滿足△：條件，並記作 ｅａ ；另外，如果存在
乙個正常數ａ＞１，使得
（）≤塵
，本研究主要是得到式（１）解的如下估計：
ｖ￡＞０，
咖（ｉｄｍｉ）ｄ＋
則稱滿足條件，並記作 ∈ ．
例一ｉｔｌ∈
ａ２，咖ｌ（ｔ）
；（４）
式中，常數ｃ不依賴於「和事實上，如果 （ｔ）＝
那麼，式（４）可簡化為式（３）．
定義１（小ｂｍｏ條件）係數矩陣ａ滿足小ｂｍｏ或者（６，ｒ）．消失條件，如果
ｓｕｐｓｕｐ
ｆ㈩ｉａ（）一
）≤６ ，
式中，ａ州
ｂｒ（１
需要指出的是，如果函式滿足ｖｍｏ條件，則必然滿足小ｂｍｏ條件．由尺度不變性，可以假設ｒ＝１．
本研究的主要結論如下．
定理１ 假設 ∈ａ ｎ，係數矩陣ａ滿足小ｂｍｏ條件，且式（１）的解滿足區域性
估計，那麼存
在乙個小的使得ｄｍ∈ｌ之（），
且滿足式（４）．
注１ 條件 ∈△：ｎｖ 是最優的 ．
推論１假設 ∈ａ ｎ ，那麼存在乙個小的如果係數矩陣ａ滿足
ｌｉａ一，ｌｌ㈣≤６，
（５）則對式（１）的解，有且滿足式（４）．
注等由式（５）得到了式（１）解的（ｐ＞２）估計．
如果式（５）成立，那麼ａ滿足小ｂｍ０條件，且式（１）的解滿足區域性＇估計 ．由定理１，可得推
論成立．
１基本概念與主要引理
空間下面介紹ｏｒｌｉｃｚ空間的基本概念．
定義２凸函式西：ｒ—ｒ 為乙個ｙｏｕｎｇ函式，
如果（一
定義３設是乙個ｙｏｕｎｇ函式，如果存在乙個正常數ｋ，使得
（２ｔ）≤
（），ｖｔ＞０，
一』ｔｊ一１∈ ，２（ｔ）嶽
注３如果 ∈ａ ｎ ｖ２，那麼不難驗證，對任意的滿足
ｖｔ＞０，（６）
式中定義４設是乙個ｙｏｕｎｇ函式，那麼定義ｏｒｌｉｅｚ族
（）為滿足下述條件的可測函式的
集合：ｊ咖
而ｏｒｌｉｃｚ空間為（力）的線性閉包．
注４＿８。。（１）顯然，ｏｒｌｉｃｚ空間為空間的推
廣，因為當 （ｔ）＝ｌｔｌ時，（）＝ｌｐ（）．
（２）一般來說，ｃｌ ；但如果 ∈△ ，則＝
，且ｃ 在中稠密．
（３）如果 ∈△ ｎ ｖ２，則對於任意的有界區域，有
ｌ （力
式中，，ｏｔ的定義同式（６）．
（４）如果ｇ∈ｌ （），則
（５）設那麼對任意的ｂｌ，ｂ２＞０，有
ｊ。吉（
１．２迭代－覆蓋引理
通過簡化並推廣文獻［１１］中所用的技巧，我們
給出下述迭代一覆蓋引理．
由尺度變換，不妨假設定理１中ｒ＝１．記一ｊｂ
ｄ，（７），，
６３２上海大學學報（自然科學版）第ｌ６卷
式中，６∈（０，１）為待定的小量．而對任意的ａ＞０，有滿足式（９）和
「＾赤，』＿，赤』
ｕ（８）
（１０）．
（３）由式（９），得
那麼，「 滿足
［（）］＝＝
另外，記
［］＝ｊ＝｝ｆ｝出＋ｆｊｖｂｃ
且下面對ｂ 進行分解，由於在ｂ ＼（１）上，有
ｌｄ ｕ１≤１，故主要對水平集ｅ （１）進行分解．
引理１設ａ＞ｔ２０ ，則存在一族互不相交的球
滿足ｊ＾［ｂｐ．
且（１）ｃ ｕｂ５ｕ零｛！＝ｌ１０集
（１０）
另外，ｋ譬ｄ）．…）
證明（１）首先證明。。
實際上，任意固定ｗ∈ｂ。和ｐ≥１／１０，並令ａ／＞２０ ，則由式（７），得
≤赤器（¨
ｄ小≤２０＂（
＋ｄ）：
（２）對幾乎處處的ｗ∈ｅ （１），由ｌｅｂｅｓｇｕｅ積分
定理，有
［（）＿ｊ＞１
因此，存在ｐ＞０，滿足
［ｂｐ（加）］＞１．
從而，結合式（１２）取使得
綜上所述可得，對幾乎處處ｗ∈ｅ （１），存在乙個如上構造的球ｂｐ（）．因此，應用ｖｉｔａｌｉ覆蓋引理，可以找到一族互不相交的球｛ｂｐ，
（）｝。，這裡
即ｆ（）ｊ＝ｆｂ
２ｕ＋ｆ
ｐ因此，通過拆分上式右邊兩個積分的積分區問，有＋＋
．故易得引理１的結論式（１１）．
注５ 結合的定義，以及上述引理中的式
（９），可得
ｉｄ，ｄ ≤，ｖｐ＞
（１３））．
２主要結論的證明
類似文獻［９－１１］中的方法，通過乙個基本的逼
近方法，不妨假設如同前面所述，
不妨設ａ滿足（６，１）一消失條件，故由定義１，可得
ｆｂ￣ｏｊ
ａ－－ａ—ｂ
ｌ≤８２＂（１４）
ｐ（），ｏｐｉ（￣ｉ）
引入 ∈ｗ （ｂｒ），滿足下述齊次參照方程：
（ａ ）研
＝０，∈ｂｒ．
（１５）
首先引用文獻［７］中的推論，有
引理２ 假設ａ滿足小ｂｍｏ條件，ｕ為方程
ｎ ｕ ＝廠的解，且滿足區域性 ＇（力）估計，ｂ ｃ ．對
任意的∈∈（０，１），存在充分小的
使得那麼，存在ⅳｎ＞１，使得
ｐｌｄ ｌ≤ｎｏ，
且ｊｉｄ （ｍ一 ）１ｄｘ≤∈，
（１６）
式中，為參照式（１５）在ｂ 的解．
注６文獻［７］利用緊方法估計ｊｊ一 ｊｄｘ，
第６期姚鋒平，等：二階非散度型橢圓方程解的區域性正則性估計６３３
然後得到估計式（１６）．實際上，利用反ｈ６１ｄｅｒ不等式，可以直接證明式（１６）．
進一步，通過基本的尺度變換，可得以下引理．引理３ 假設ａ滿足小ｂｍｏ條件，ｕ為方程
（ｉｉ爭ｆｄ），
式中，ｃ＝ｃ（ｎ）．對上述不等式在ｉ∈ｎ上求和，考慮到｛ｂ （）｝是互不相交的，且
ａｑｕ…：－廠ｉ均解，且滿足區域性（）估計，那麼對任
意的存在充分小的和
ⅳｎ＞１滿足ｓｕ（
ｐ）且ｉｄ２（「 一 ）ｌｄ ≤ｅ２，
式中，為參照式（１５）在ｂｑ０（）的解．
證明作尺度變換
（）＝（５（）），
式中，∈ｂ ，那麼，「 滿足進一步，由注６和式（１４），可得
ｉｏ。（）≤１，
（ｉｉ十｛一五
≤２６．
那麼，根據引理２與尺度變換可得結論．
下面完成定理１的證明．
證明對任意的ａ＞ｔ
２０ ，結合式（８），（１３）和引理３，有
ｉ｛∈曰，
（）：ｉｄ （一）ｊ＞ｎｏ｝ｆ＋
ｉ｛∈ｂ．
一 ）ｌ＞ｎｏ｝ｉ≤
志 ｉｏ２（
ｃｅｉｂ，
（）１．
取 ＝（ａ ），再由引理１和式（８），可得
零測集，對任意的ａ≥
２０ ，可得
ｉ ｅｎ
∑∈『詈（ｋ 等ｕｉ
：睜ｆｄ）．
（１７）
因此，由注４中的結論（４），可得
∈ｂ。：ｌｄｍ２＞
｛一＋；：
１０２，，ｊ＞
２｝ｌｄ［咖
， 的估計：由式（６）和（７），有
叫 ｉｄ２ｕｉ
），故由區域性。估計，可得
≤叫因此，利用ｊｅｎｓｅｎ不等式和式（６），有
，－≤ｃ ｊ（＂ｂ－式中
，２的估計：考慮到注４中的結論（５）和式（１５），得
，２≤ｃ２∈ （（
爭ｌｄ）
ｃ３∈ｊ咖（ｊｊ８，
ｄ。ｍｌ）ｄｘ＋
６３４上海大學學報（自然科學版）第１６卷
ｂ，式中西，．因此，結合，。和，，的估計，可得
ｊｊｂ１（ｊ
（ｊｄ ｊ）ｄｘ＋
ｃ５ｊ（咖（ｆ「ｌ）＋咖（ｊｆｊ））ｄｘ，－＇ｂ
式中選取合適的ｅ滿足ｃ ｅ。＝１，
然後利用基本的迭代引理，吸收上式右端的
第乙個積分，從而完成定理的最後證明．
參考文獻：
［１］［２］
［４］一
ｌ３９．
［７］王月山．一類非散度型橢圓方程解的區域性
正則性［ｊ］．數學學報
３２０．
（編輯：孟慶勳）
二階常微分方程的幾種解法
二階常係數非齊次線性微分方程的幾種解法 一公式解法 目前,國內採用的高等數學科書中,求二階常係數線性非奇次微分方程 1 通解的一般方法是將其轉化為對應的齊次方程的通階與它本身的特解之和。微分方程階數越高,相對於低階的解法越難。那麼二階常係數齊次微分方程是否可以降價求解呢?事實上,經過適當的變數代換可...
二階線性微分方程解的結構講解
附錄a 線性常微分方程 本課程的研究內容與常微分方程理論有非常密切的聯絡，因此在本附錄裡，我們將對線性常微分方程的知識 包括解的存在性 解的結構和求解方法做一些回顧和總結。把包含未知函式和它的j階導數的方程稱為常微分方程。線性常微分方程的標準形式 a.1 其中n稱為方程的階數，和是給定的函式。可微函...
二階變係數常微分方程求解方法的文獻綜述
文獻綜述 前言常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續保持著進一步發展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中。二階變係數常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術及力學和物理學中都有十分廣泛的應用。關於它的解結構己有十分完美的結論，但其求解方法卻各有不同，因此.二階變係數線性微分方程的...