實驗三常微分方程的差分方法實驗
一. 實驗目的
（1）深入理解常微分方程的差分方法的原理，學會用差分方法解決某些實際的常微分方程問題，比較這些方法解題的不同之處。
（2）熟悉matlab程式設計環境，利用matlab實現具體的常微分方程。
二. 實驗要求
用matlab軟體實現尤拉方法、改進的尤拉方法、龍格-庫塔方法和亞當姆斯方法，並用例項在計算機上計算。
三. 實驗內容
1. 實驗題目
（1）取h=0.1，用尤拉方法、改進的尤拉方法、四階龍格-庫塔方法求解初值問題：
並與精確解比較計算結果
a.尤拉方法：
a．編寫檔案euler.m,內容如下所示：
b.bb.編寫檔案f3.m:
c.編寫檔案solvef3(x):
d.執行如下所示：
可見精度是比較粗糙的，具有兩位有效數字；
b．改進的尤拉方法
a．編寫檔案mendeuler.m,內容如下所示：
c．執行如下：
可見部分值具有3為有效數字了
c．四階龍格-庫塔方法
a．編寫檔案rungkuta4.m,內容如下所示：
b．執行如下所示：
（2）分別用二階亞當姆斯預估校正系統、改進的四階亞當姆斯預估校正系統求解初值問題，取，計算。
a.編寫檔案adams2pc.m,即為二階亞當姆斯預估校正系統的程式：
b.編寫改進的四階亞當姆斯預估校正系統的程式，如下所示：
c．編寫檔案f5.m,即為微分方程的程式；編寫檔案solvef5.m，為解函式的程式，用以比較結果：
d．執行
從上面的輸出可以看到ca4(:,2)和ca4的輸出時不同的，前面乙個值輸入矩陣的第二
列；2. 設計思想
要求針對上述題目，詳細分析每種演算法的設計思想。
首先差分方法是一類離散化方法，這類方法將尋求解y（x）的分析問題轉化為計算離散值y的代數問題，使問題得到實質性的簡化；差分方法在解初值問題時採取步進式，進一步將計算模型化歸為僅含乙個變元的代數方程——差分格式
a． 尤拉方法：確定步長，施行離散化手續，用差商代替倒數；
b． 改進的尤拉方法：在尤拉方法的基礎上，改變倒數項，通過首尾兩點的倒數的一半來作為平均倒數，從而改善精度；
c． 龍格-庫塔方法：在每一步上多預報幾個點的斜率，然後將它們加權平均作為平均斜率k*，即該平均斜率將比上面兩種方法更加精確，則有可能構造出更高精度的計算格式；
d． 二階亞當姆斯預估校正系統：充分利用先前計算出來的老資訊來為新資訊服務，期望來達到減少計算量的目的；預報過程採用鬆弛手續，來校正產生的值，使值的精度更高；
e． 改進的四階亞當姆斯預估校正系統：在二階的基礎上，更近一步地改善精度，
更加充分地利用來資訊，又不失二階時的預報校正的優點。
四. 實驗體會
對實驗過程進行分析總結，對比求解常微分方程的不同方法，指出每種演算法的設計要點及應注意的事項，以及自己通過實驗所獲得的對常微分方程的差分方法的理解。
在實驗的過程也是一次對書本進行複習的過程，通過實驗可以更加地理解和學會利用已知的結論來求解初值問題。演算法的計算是建立在使用價值上的，如上面的設計思想中可以看出，每一種演算法的建立都是在滿足一定的實用價值上的，既要有一定的精度，也要控制在一定的計算範圍之內。利用鬆弛手續來提高精度，這種設計是優秀的。
編寫程式時，以前並不是很注意結尾要不要分號，但這個細節有時必須要注意，正如在執行視窗下時，要想得出計算結果是不能帶分號的，假如你帶了分號就會自動換行，提示繼續輸入，如，而當去了分號後就可以執行了；當然這個道理前面幾個實驗已經知道；這次實驗的情況是微分方程是另外存在乙個函式檔案中的，那麼這個檔案的結尾到底要不要分號呢？從習慣上還是提倡寫上分號，假如在這次中忘了寫的話，在其它「.m」檔案中引用該函式時，雖然只是中間結果，但每用一次就好輸出一次，使輸出內容與預知的多了些；
還有一點是，像上面的內容假如直接複製，貼上再執行會出錯，因為把「>>」也複製上了，貼上的「>>」和換行時自動出現的符號在意義上是不同的，故會出錯，不過在最新版本的matlab上就沒有這個問題，在貼上時自動把多出的符號刪去。
實驗中二階亞當姆斯預估校正系統題目中給了兩個初值，從而使得程式更加地簡單，不必利用其它的方法來求得初值再啟動執行。
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