在實際中，許多問題所研究的變數都是離散的形式，所建立的數學模型也是離散的，譬如，像政治、經濟和社會等領域中的實際問題。有些時候，即使所建立的數學模型是連續形式，例如像常見的微分方程模型、積分方程模型等等，但是，往往都需要用計算機求數值解。這就需要將連續變數在一定條件下進行離散化，從而將連續型模型轉化為離散型模型，因此，最後都歸結為求解離散形式的差分方程解的問題。
關於差分方程理論和求解方法在數學建模和解決實際問題的過程中起著重要作用。
下面就不同型別的差分方程進行討論。所謂的差分方程是指：對於乙個數列，把數列中的前項（）關聯起來所得到的方程。
4．1常係數線性差分方程
4.1.1 常係數線性齊次差分方程
常係數線性齊次差分方程的一般形式為
4.1)
其中為差分方程的階數，（）為差分方程的係數，且（）。對應的代數方程
4.2）
稱為差分方程的（4.1）的特徵方程，其特徵方程的根稱為特徵根。
常係數線性齊次差分方程的解主要是由相應的特徵根的不同情況有不同的形式。下面分別就特徵根為單根、重根和復根的情況給出差分方程解的形式。
1. 特徵根為單根
設差分方程（4.1）有個單特徵根，則差分方程（4.1）的通解為
，其中為任意常數，且當給定初始條件
4.3)
時，可以唯一確定乙個特解。
2. 特徵根為重根
設差分方程（4.1）有個相異的特徵根（）重數分別為且則差分方程（4.1）的通解為
同樣的，由給定的初始條件（4.3）可以唯一確定乙個特解。
3. 特徵根為復根
設差分方程（4.1）的特徵根為一對共軛復根和相異的個單根,則差分方程的通解為
,其中, .
同樣由給定的初始條件（4.3）可以惟一確定乙個特解。
另外，對於有多個共軛復根和相異實根，或共軛復根和重根的情況，都可以類似地給出差分方程解的形式。
4.1.2常係數線性非齊次差分方程
常係數線性非齊次差分方程的一般形式為
4.4)
其中為差分方程的階數，（）為差分方程的係數，（）,為已知函式。
在差分方程（4.4）中，令, 所得方程
4.5)
稱為非齊次差分方程（4.4）對應的齊次差分方程，即與差分方程（4.1）的形式相同。
求解非齊次差分方程通解的一般方法為：
首先求對應的齊次差分方程（4.5）的通解，然後求非齊次差分方程（4.4）的乙個特解，則
為非齊次差分方程（4.4）的特解。
關於求的方法同求差分方程（4.1）的方法相同。對於求非齊次方程（4.4）的特解
的方法，可以用觀察法確定，也可以根據的特性用待定係數法確定，具體方法可參照常係數線性非齊次微分方程求特解的方法。
4.2 差分方程的平衡點及其穩定性
一般來說，差分方程的求解是困難，實際中往往不需要求出差分方程的一般解，而只需要研究它的平衡點及其穩定性即可。
4.2.1 一階線性常係數差分方程
一階線性常係數差分方程的一般形式為
，，其中為常數，它的平衡點由代數方程求解得到，不妨記為.
如果，則稱平衡點是穩定的，否則是不穩定的。
為了便於研究平衡點的穩定性問題，一般將其轉化為求方程的平衡點的穩定性問題。事實上，令是方程的根，即滿足，則與兩式相減，可得
令，則，於是數列的問題就轉化為了。
而由可以解得
，於是是穩定的平衡點的充要條件是：.
4.2.2一階線性常係數差分方程組
一階線性常係數非齊次差分方程組是指，對於個數列，，滿足方程組：
用矩陣形式表示為
若都為常數，則成為，若記
，，，則一階線性常係數非齊次差分方程組的一般形式可以表示為
其中、為維向量，為階常數矩陣。
若，則， ，
稱為一階線性常係數齊次差分方程組。
對於一階線性常係數齊次差分方程組，它的平衡點是方程組的解，即的解，顯然是。它的平衡點是穩定的充要條件是的所有特徵根都有().
對於一階線性常係數非齊次差分方程組
，，的情況同樣給出。
4.2.3 二階線性常係數差分方程
二階線性常係數齊次差分方程的一般形式為
，其中為常數，其平衡點是穩定的充要條件是特徵方程，
的根滿足，。
對於一般的二階線性常係數非齊次差分方程的平衡點的穩定性問題同樣給出。類似地，也可直接推廣到階線性差分方程的情況。
4.2.4 一階非線性差分方程
一階非線性方程的一般形式為
其中為已知函式，其平衡點定義為方程的解。
事實上，將在處作一階的泰勒展開有
，則也是一階線性方程的平衡點，故此，平穩衡點穩定的充要條件是|。
4.3 連續模型的差分方法
4.3.1 微分的差分方程
已知在點處的函式值（），且，試求函式的導數值（）。
根據導數的定義，用差商代替微商，則有下面的差分公式。
向前差：
向後差：
中心差：
4.3.2 定積分的差分方法
已知函式在點處的函式值，且在上可積，試求函式在上的積分值。
根據定積分的定義，則有一般的求積公式
其中為求積係數，它與的選取方法有關。取不同的求積係數，可以得不同的求積公式。
對於等距節點 ，其中步長為很小的數，則有如下的求積公式。
（1）復化矩陣公式；
。（2）復化梯形矩陣；
（3）復化辛普森(simpson)矩陣公式；
其中為子區間的中點。
（4）復化柯特斯(cotes)公式；
其中為子空間中的四等分點。
4.3.3常微分方程的差分方法
1. 一階常微分方程的差分方法
設一階常微分方程的定解問題為
其中函式關於 y 滿足李普希茲條件，即保證問題解的存在唯一性。
現在的問題是求方程在一系列節點處的近似數值解不妨假設步長為為常數。在此，我們根據微分的差分方法，即用差商來近似代替微商，再利用「步進式」方法，可以給出求解問題(4-6)的差分方法。
（1）單步尤拉(euler)公式
用差商近似代替中的導數，則可以得差分公式
其精度為階的。
（2）兩步尤拉公式
用差商近似代替中的導數，則可得差分公式
兩步法需要用到前兩步的方資訊，一般不能自行起步，需先用單步方法求出，其精度是階的。
（3）梯形公式
對於方程的兩邊在上求積分得
利用積分的差分方法中梯形公式求解積分
則離散化即可得到微分方程的梯形差分公式
這是乙個隱式格式，計算量大，一般不單獨使用。其鏡的也是階的。
（4) 改進的尤拉公式
由於單步尤拉公式色精度低，但計算量小；矩形公式精度高，但是計算量大，為此，我們綜合運用這兩種方法舅老爺得到改進的尤拉公式，其精度為階的。
預報：校正：
或寫成平均化形式；
（5）龍格—庫塔法
龍格—庫塔方法的基本思想：
對於微分方程的定解問題（4.6），考慮差商，根據阿格朗日微分中值定理可得
，，記，稱為上的平均變化率，則 。現在的問題只要找到尋找一種好的計算的近似方法。
如果取，則就是尤拉公式。
如果取，則相應的就是改進的尤拉公式。
現在，我們取個點，用在這個點的函式值的加權平均作為的近似值，即
其中為權係數。則有
4.7）
其中，，為待定係數。
實際上，適當選擇，，，使得公式有更高的精度，這是龍格---庫塔方法的思想。
二階龍格---庫塔公式：
在內取中點，則可取，，代人（4.7）式得到二階龍格-庫塔公式，其精度為階。
三階龍格-庫塔公式：
在內任取二點，，類似的方法可得到三階的龍格---庫塔公式
其精度是階的常用的是三階的情況。
四階龍格----庫塔公式：
類似的方法可以得到經典的四階龍格---庫塔公式，其精度是階的
2. 一階常微方程組的差分方法
將前面的單個方程中的變數和函式視為向量，相應的差分方法即可用於由多個方程組的一階方程組的情形。
對於二個方程的方程組
4.8)
設以表示函式在節點上的近似解，則有改進的尤拉公式：
預報:校正:
經典的四階龍格---庫塔公式
其中其他的公式也都可以類似得到，即相當於同時求解多個一階方程，從方法上沒有本質的差別。
3. 高階常微分方程的差分方法
對於某些高階方法的定解問題，原則上可以轉化為一階方程組來求解。譬如，對於如下的二階微分方程的定解問題
若令，則可以化為一階方程組的定解問題
4.9)
實際上,(4.9)式可以視為(4.8)式的特例，類似地可以得到相應的求解差分公式。
4.4最優捕魚問題
4.3.1問題的提出
假設鯷魚可分為4個年齡組：稱1、2、3、4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.
07，11.55，17.86，22.
99（）；各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（1/年）；這種魚為季節性集中產卵繁殖，產卵孵化期為每年的最後4個月，平均每條4齡魚的產卵量為1.109*（個），3齡魚的產卵量為這個數的一半，2齡和1齡魚不產卵。
卵孵化並成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數與產卵量之比）為。
漁業部門規定，每年只允許在產卵孵化期前的8個月內進行捕撈作業。如果每年投入的捕撈能力固定不變，即固定努力量捕撈，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數成正比，比例係數稱為捕撈強度係數。通常使用網眼的拉網，這種網只能捕撈3、4齡魚，其兩個捕撈係數之比為0.
42：1.
要解決的問題是：
建立數學模型，分析如何實現可持續性捕撈（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數不變），並且在此前提下得到最高的年收穫量（總質量）。
第四章差分方程方法
在實際中，許多問題所研究的變數都是離散的形式，所建立的數學模型也是離散的，譬如，像政治 經濟和社會等領域中的實際問題。有些時候，即使所建立的數學模型是連續形式，例如像常見的微分方程模型 積分方程模型等等，但是，往往都需要用計算機求數值解。這就需要將連續變數在一定條件下進行離散化，從而將連續型模型轉化...
第四章審計方法
一，填空題 1，審計方法按審查書面資料的技術可分為和 2，審計抽樣方法按照審計抽樣目的不同劃分為 和 3，屬性抽樣主要有 和 三種方法。4，變數抽樣主要有 和 三種方法。5，在進行控制測試時，應關注的抽樣風險包括 和 6，證實客觀事物的審計方法有和 7，審閱法在財務審計中運用最為廣泛，主要是審閱原始...
第四章會計記賬方法
一 單項選擇題 1 下列錯誤能夠通過試算平衡發現的是 a 漏記某個會計科目 b 漏記某項經濟業務 c 錯記某項經濟業務 d 借貸方向顛倒 2 在借貸記賬法下，一般有借方餘額的賬戶是 a 成本類賬戶 b 負債類賬戶 c 損益類賬戶 d 費用類賬戶 3 一般情況下，實收資本 科目的期末餘額應該在 a 在...