第4章非線性方程與非線性方程組的迭代解法
學習小結
一、 本章學習體會
在之前的學習中我們基本接觸的都是線性方程和方程組的求解，對於非線性方程和非線性方程組的求解接觸很少。因為在實際應用中非線性方程能接觸解析表示式的很少，對於大多數非線性方程，只能用數值法求解出它的根的近似值。在本章介紹的求解非線性方程的方法為迭代法。
本章學習中王老師著重讓我掌握4.1節非線性方程的迭代法，對4.2節非線性方程組的迭代法進行了解。
在本章的學習中首先了解了matlab內部函式：solve函式、roots函式、fzero函式、fsolve函式的應用。然後對二分法，簡單迭代，艾特肯迭代，史蒂芬森迭代，牛頓法，牛頓下山法，m重根的newton法、割線法、單點割線法進行迭代法求解非線性方程（組）的數值解，並對收斂性和收斂速度進行討論。
對於這一章的學習，對於簡單迭代其如何選取更好的迭代公式對於我來說還存在一定的困難。牛頓迭代法中選取與精確值接近的初始值是非常重要的，它對於迭代速度和最終能否求得正確的精確值有很大的影響。
在本章的學習中我認為我最大的問題在於沒法更好的利用這些所學的工具來解決實際應用中的問題，面對例項還是不能很好的選擇乙個好的方法來解決。並在程式編寫上還是存在很大的問題，還需要自己更加努力。對於現在的程式設計作業，主要是看著任玉傑的書進行按貓畫虎，程式編寫上很少有自己的想法，這一點是需要改進的，希望自己在以後的學習中能很好的掌握這門課程，可以讓它能更好的為以後的學習和工作服務。
2、本章知識梳理
求解非線性方程根的matlab函式
1.solve函式：求出多項式方程的全部根
2.roots函式：求解多項式方程（組）的全部根
3.fzero函式：求一維變數的零點
4.fsolve函式：求非線性方程組的解
與線性方程求根相關的幾個概念與結論
1、非線性方程的一般形式： f(x)=0
2、非線性方程的分類：
3、方程的根
若存在常數s使f(s)=0，則稱s是方程(4.1)的根，又稱s是函式f(x)的零點。
4、重根
若f(x)能分解為其中則稱s是方程(4.1)的m重根和f(x)的m重零點。
當m=1時，s稱為方程(4.1)的單根和f(x)的單零點。
5、幾個結論
（1）零點存在定理
（2）根的唯一性判別：一階導數不變號且不為零
（3）n次代數方程在複數域上恰有n個根
（4）高於4次的代數方程沒有求根公式
6、解非線性方程迭代法的收斂性
（1）大範圍收斂：在含根區間任取一初值
（2）區域性收斂: 初值要充分靠近根s才能收斂。
4.1 非線性方程的迭代解法（重點）
4.1.1初始近似值的搜尋（了解）
作圖法，逐步搜尋法（零點存在定理），區間二分法三種方法
4.1.2簡單迭代法及其收斂性（重點）
1.迭代法的基本思想：
一般形式： 為迭代函式。
2.收斂性：
若由迭代公式產生的序列收斂於，則為原方程的根若對任意初值由迭代公式產生的序列滿足，則稱迭代公式在d收斂。
3.幾何意義
方程的根s為的交點。
4.收斂條件
a、非區域性收斂定理
設函式，在內可導，且滿足兩個條件：
（1）當時，；
（2）當時，，其中l是常數。
則有（1）方程在區間上有唯一的根s；
（2）對任取的，簡單迭代法產生的序列且收斂於s；
（3）成立誤差估計式
b、區域性收斂定理
在的根s附近有連續的一階導數，且則迭代法具有區域性收斂性。
4.1.3簡單迭代法的收斂速度
1.r階收斂速度的定義
設序列收斂於s，並且，如果存在常數和常數c>0,使得極限成立，或者使得當（某個正整數）時，成立，
則稱序列收斂於s具有r階收斂速度，簡稱是r階收斂的。常數c稱為收斂常數，也稱收斂因子。r=1時，稱序列是線性收斂的；r=2時，稱序列是平方收斂的。
2.簡單迭代法的收斂速度
（1）線性收斂的條件
設函式時，且滿足以下條件
（1）當時，；
（2）當時，，其中l是常數。
則對任取的由簡單迭代法產生的序列收斂於方程在內的為一根s，並且當時是線性收斂的。
（2）m階線性收斂的條件
設在包含s的某個開區間內連續。如果
則存在，當但時，由簡單迭代法產生以m階收斂速度收斂於s.
4.1.4迭代過程的加速
1.加權迭代法
或者：2.埃特金(aitken)加速法 （重點）
將一般迭代與aitken加速技術結合起來即得到:
史蒂芬森（steffensen）迭代法
迭代公式：
4.1.5newton法（切線法）（重點）
1.基本思想：
（1）構造法:
（2）幾何上:逐步線性化方法
（3）taylor展開
2.迭代函式：
3.迭代公式
4.幾何意義
5.收斂性
（1）區域性收斂定理
設s時方程（4.1）的根，在包含s的某個開區間內聯絡且則存在當時，由newton法（4.7）產生的序列收斂於s;若且則序列是平方收斂的。
（2）非區域性收斂定理
設函式在區間上存在二階連續導數，且滿足條件：
ab.在區間上不變號；
c.當時d.
則由newton法產生的序列單調收斂於方程在內唯一的根s，並且至少是平方收斂的。
6.牛頓下山法（了解）
其中稱為下山因子。
通過適當選取下山因子保證函式值能單調下降。
下山因子的選擇是逐步進行的，從開始反覆將的值減半進行試算，一旦單調下降條件成立，則稱下山成功，反之，如果在上述過程中找不到使單調下降條件成立的下山因子，則稱下山失敗，這時需另選初值重算。
4.1.6 求m重根的newton法
設s是方程（4.1）的m重根（），f(x)在s的某鄰域內有m階連續導數，則
至少平方收斂
至少二階收斂
4.1.7割線法（了解）
1.基本思想用割線代替切線
2.迭代公式
4.1.8單點割線法（了解）
4.2非線性方程組的迭代解法（了解）
4.2.1一般概念
非線性方程組的一般形式
向量形式：
4.2.2簡單迭代法
1.迭代公式：
2.收斂性
(1)非區域性收斂定理（壓縮映象原理）
(2)區域性收斂定理
4.2.3newton法
基本思想：將非線性方程線性化（利用taylor展開），構造迭代格式。
迭代公式：
4.2.4離散newton法
基本思想：用差商代替導數。
迭代公式：
4.2.5最速下降法（梯度法）（了解基本思想）
由 構造模型函式（目標函式）：
將求f（x）=0 的根轉化為求
3、本章思考題
查閱其他參考書，尋找用牛頓法求解多項式方程根的特殊方法。再找一種加權法
答：特殊演算法有求的根
newton迭代格式就變為
用巢狀演算法（秦九紹演算法）計算，
先用除以得：，則有
比較上式兩邊同類項得到求的遞推公式為：
於是。求出以後，用類似的方法，通過遞推公式
可求出四、本章**題
設，要使迭代過程區域性收斂到，求的取值範圍。
解： 由可知
要使迭代過程區域性收斂到則令
即綜上：要使迭代過程區域性收斂到，的取值為
第四章學習小結
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第四章本章小結
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