第4章非線性方程與非線性方程組的迭代解法
學習小結
本章我們主要學習了非線性方程的幾種解法，主要有對分法、簡單迭代法、steffensen迭代法、newton法、割線法等。這幾種方法都有其思想，並且它們的思想彼此之間有一定的聯絡。
本章的思路大致可以理解為：1.如何選取迭代公式；2.如何判斷迭代公式的收斂速度；3.如何進行迭代公式的修正，以加速收斂；4.如何選取最適合的迭代方法 。
二、本章知識梳理
具體求根通常分為兩步走，第一步判斷根是否存在，若存在，確定根的某個初始近似值；第二步，將初始近似值逐步加工成滿足精度要求的結果。
求初始近似值，即確定根的大致區間（a, b），使（a, b）內恰有方程的乙個根。本章的學習思路：針對一種迭代方法，找出迭代公式，並判斷其收斂性，一般選取收斂速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收斂加速的問題。
4.1非線性方程的迭代解法
非線性方程的迭代解法有：對分法、簡單迭代法、steffensen迭代法、newton法、割線法等。
4.1.1對分法
設，根據連續函式的介值定理，在區間內至少存在有乙個實數s，使。現假設在內只有乙個實數s，使並要把s求出來，用對分法的過程：
令對於執行
計算若，則停止計算取否則轉（3）
若則輸出m次迭代不成功的資訊；否則繼續。
對分法的侷限：
對分法只能求實根，而且只能求單根和奇數重根，不能求偶數根和複數根
4.1.2簡單迭代法及其收斂性
迭代法是一種逐次逼近法,用某個固定公式反覆校正根的近似值,使之逐步精確化,最後得到滿足精度要求的解。
1、簡單迭代法的基本思想是：
將方程f (x) = 0化為乙個等價的方程
從而構成序列
產生序列收斂於s，在收斂的情況下，當k足夠大時就可取作為方程的近似根。
乙個方程可等化為好幾個迭代公式，到底如何選取，取決於其收斂速度。而收斂速度要看區間內跟的情況
2、收斂條件
非區域性收斂條件：
設函式，且在內可導，且滿足兩個條件：
（1）當x[a, b]時，(x)[a, b]
（2）當任意x[a, b]，存在0< l< 1，使
則有如下的結論
方程x = (x)在[a, b]上有唯一的根s,
對任意初值x0[a, b]時，迭代序列xk+1= (xk) (k = 0, 1, …)收斂於s。
成立誤差估計式：
對收斂性做如下定義：
設，在包含s的某個開區間內連續。如果，則存在當時，有簡單迭代法產生的序列且收斂於s.
4.1.3簡單迭代法的收斂速度
1、簡單迭代法收斂速度的定義
一種迭代格式要具有實用意義，不但需要肯定是收斂的，還要求它收斂得比較快，就是說要有一定的收斂速度。所以有如下定義：
設由某方法確定的序列收斂於方程的根x*，如果存在正實數p，使得
c為非零常數）
則稱序列收斂於s的收斂速度是r階的，或稱該方法具有r階斂速。當r= 1時，稱該方法為線性（一次）收斂；當r = 2時，稱方法為平方（二次）收斂；當1< r< 2時，稱方法為超線性收斂。
由該定義易見，乙個方法的收斂速度實際就是絕對誤差的收縮率，斂速的階p越大，絕對誤差縮減得越快，也就是該方法收斂得越快。
線性收斂條件
設函式，，且滿足兩個條件：
（1）當x[a, b]時，(x)[a, b]
（2）當任意x[a, b]，存在0< l< 1，使
其中l為常數
則對任取的，由簡單迭代法產生的序列收斂於方程的唯一根s ,並且當時，是收斂的。
3.m階收斂條件
設在包含s的某個開區間內連續（m≥2）.如果
則存在當但時，由簡單迭代法產生的序列是以m階速度收斂的。
4、迭代過程的加速
加權法迭代法加速法
迭代 改進
埃特金加速法
迭代迭代
改進4.1.4steffensen迭代法
設，在包含s的某個開區間內具有二階連續導數。如果，則存在當時，由steffensen迭代法產生的序列至少以二階收斂速度收斂於s.
4.1.5newton法
1、基本思想
設：已知方程f (x) = 0的乙個近似根x0，把f (x)在x0處作泰勒展開，
若取前兩項來近似代替f (x)（稱為f (x)的線性化），則得近似的線性方程
設解之得
我們取x作為原方程f (x) = 0的近似根x1，即
一般地f (x) 0。
再重複用上述方法得
一般地，有迭代公式
公式稱為求解f (x) = 0的牛頓迭代公式。
牛頓法有明顯的幾何意義。方程f (x) = 0的根s在幾何上表示曲線y = f (x)與x軸的交點。當我們求得s的近似值xk以後，過曲線y= f (x) 上對應點（xk, f (xk)）作f (x) 的切線，其切線方程為
求此切線方程和x軸的交點，即得s的新的近似值xk+1必須滿足方程
這就是牛頓法的迭代公式的計算結果。
2.newton法的收斂性
（1）、區域性收斂定理
設s是方程的根，在包含s的某個開區間內連續且，則存在當時，由newton迭代法產生的序列至收斂於s. 若則序列是平方收斂的。
（2）、非區域性收斂
設f (x)在[a, b]上存在二階連續導數，且滿足下列條件：
（1）f (a) f (b) < 0；
（2）f』 (x) 0；
（3）f (x) 存在且不變號；
（4）取x0 [a, b]，使得f (x)f (x0) >0
則由方程確定的牛頓迭代序列收斂於f (x)在[a, b]上的唯一根s,並且至少是平方收斂的。
3.newton法的缺點
newton法的乙個明顯缺點是對每乙個k都要計算它的導數，導數計算比較麻煩，尤其當導數的絕對值很小時，計算要非常精確。否則會產生很大的捨入誤差。
4.1.7割線法
1、迭代公式
2、割線法的收斂
設，在s的某鄰域內連續且，則存在，當時，由割線法產生的序列收斂於s，且收斂速度的階至少為1.618.
4.1.8單點割線法
迭代公式
， 收斂性
設函式在區間上存在二階連續導數，且滿足條件：
（1）；
（2）在區間上不變號；
（3）當時，；
（4）且，。
則由單點割線法產生的序列單調收斂於方程在內唯一的根，並且收斂速度是一階的。
4.2非線性方程組的迭代解法
1、非線性方程組的相關定義
若：在處可微，則在處關於各自變數的偏導數存在，且有 ，在處的導數又稱為在處的梯度，又可記為和
定義：設：，，若存在矩陣，使極限
成立，則稱在處可微，矩陣稱為在處的導數，記為；若是開區域且在內每點處都可微，則稱在可微。
設：，在處可微的充分必要條件是的所有分量在處可微；若在處可微，則
設：，①若在處的矩陣存在且連續，則在處可微，並稱在處連續可微，且。
②若在處可微，則在處連續。
③若在開區域內可微，為開凸域，則對任意的和，等式
成立，其中
2、非線性方程組的迭代方法
（1）簡單迭代法
（壓縮映像原理） 設：在閉區域上滿足兩個條件：
1 把映入它自身，即；
②在上是壓縮對映，即存在常數，使對任意的，有
則有下列結論：
對任取的，由迭代公式產生的序列，且收斂於方程組在內的唯一解；
成立誤差的估計式
設：，是方程組的解，在處可微。若的譜半徑，則存在開球，使對任意的，由迭代法產生的序列且收斂於。
法（將非線性方程線性化）
設是方程組的解，：在包含的某個開區域內連續可微，且非奇異，則存在閉球，使對任意的，由發產生的序列且超線性收斂於；若更有在域內二次連續可微，則序列至少是平方收斂的。
優點：收斂快
缺點：要求很靠近，要求各個偏導。
三、本章思考題
四、本章測驗題
二分法求在內的根，二分次數n滿足（ ）
（a）只與函式有關 （c）與根的分離區間、誤差限及函式有關
（b）只與誤差限有關 （d）只與根的分離區間以及誤差限有關
答案：（d）
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