第三章矩陣特徵值與特徵向量的計算
學習小結
一、 本章學習體會
通過本章的學習，我們學到了四種矩陣特徵值和特徵向量的計算方法，分別是冪法、反冪法、jacobi方法和qr方法。
四種方法各有其特點和適用範圍。冪法主要用於計算矩陣按模最大的特徵值及其相應的特徵向量；反冪法主要用於計算矩陣按模最小的特徵值及其相應的特徵向量；jacobi方法用於求實對稱矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法；qr方法則適用於計算一般實矩陣的全部特徵值，尤其適用於計算中小型實矩陣的全部特徵值。歸結起來，這四種方法亦有其共同點，那就是都是用了迭代的方法來求矩陣的特徵值和特徵向量。
此外，用matlab自帶的解法求解特徵值和特徵向量也非常快速，而且不用編輯函式建立m檔案。其自帶函式eig功能強大，即便得到結果是虛數也可以算出，並且結果自動正交化。
二、 本章知識梳理
本章對於矩陣的特徵值和特徵向量的演算法提出了新的思路，如冪法和反冪法、jacobi、qr方法等。本章的小結主要從方法的思想，以及一些定理展開。
2.1各種方法的運用範圍
1、冪法：主要用於計算矩陣按模最大的特徵值和其相應的特徵向量；
2、反冪法：主要計算矩陣按模最小的特徵值以及其相應的特徵向量；
3、jacobi方法:用於求實對稱矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法；
4、qr方法：適用於計算一般實矩陣的全部特徵值，尤其適用於計算中小型實矩陣的全部特徵值。
2.2各種方法的基本思想以及迭代公式
1.冪法
冪法的基本思想：
設n×n實矩陣a具有n個線性無關的特徵向量，其相應的特徵值滿足不等式
，其中。
任取一n維非零向量u0，從u0出發，按照如下的遞推公式
因n維向量組線性無關，故對向量u0必存在唯一的不全為0的陣列a1,a2,…,an,使得
設a1≠0,由上式可以看出，當k充分大時有
得迭代公式： （1）
從實際中來看，為了避免迭代向量uk的模過大，（當）或過小（當），通常對ukj進行歸一化，使其範數等於1。
冪法的迭代公式：
（1）用範數來歸一，並且令
任取非零向量
（k=1,2,..）
(2) 用範數來歸一,並且令：
任取非零向量
（k=1,2,…）
上述兩種迭代終止控制用，以當前的和分別作為和相應的特徵向量。
兩種方法的比較：
（1）迭代格式編制程式容易，但迭代一次時間較長，（2）迭代格式每迭代一次都要判斷上乙個哪乙個分量的模最大，因而時間長，但在運算的攝入誤差中影響比（1）迭代格式影響小。
2.反冪法
反冪法的基本思想：
反冪法的基本思想與冪法基本相同，乙個是利用模最大的特徵值，乙個是利用模最小的特徵值。
設n×n實矩陣a具有n個線性無關的特徵向量，其相應的特徵值滿足不等式
，其中。
得： 此時，是矩陣的按模最大的特徵值，我們就將問題轉化為了冪法的思想。
反冪法的迭代公式
任取非零向量
（k=1,2,..）
2.3jacobi方法
1.jacobi方法的基本思想：
任一實對稱矩陣正交相似於對角陣。jacobi用適當選取的平面旋轉變換將給定的實對稱矩陣逐步化為對角陣。
2.求實對稱矩陣a的特徵值與相應的特徵向量是乙個迭代過程，其迭代步驟為：
（1） 在a的非對角線元素中，找出按模最大的元素；
（2）由計算，比由此計算出以及相應的平面旋轉矩陣；
（3）計算出矩陣a1的元素；
（4）若，則停止運算，所求特徵值為，則令a=a1，重複執行上述過程。
3.jacobi方法的一些說明
設是實對稱矩陣，由jacobi方法的第k次迭代得到的矩陣記為，又記為則有成立。
優點：前面論述的jacobi方法，每次迭代都是按模最大的對角線元素作為消元物件，不論實對稱矩陣a的特徵值如何分布，這種方法總是收斂的，當a得階數不是很高時。收斂速度還比較快，而且這種方法有數值穩定性，計算精度一般比較高，特別是求的的特徵向量正交性比較好。
缺點：不能有效的利用矩陣的各種特殊形狀，浪費時間。
2.4qr方法：
1.qr 方法的基本思想：
任何n×n的實矩陣總可以分解成乙個正交矩陣q和乙個上三角矩陣r的乘積。qr方法最重要的一步是對a進行正交分解使得a＝qr，其中q為一特殊正交矩陣。理論上，qr方法可以應用於任何矩陣，但對以下幾類矩陣效率很高：
1）對稱三對角矩陣；2）hessenberg矩陣；3）對稱帶狀矩陣。
（實schur分解定理）：
設a是乙個n階實方陣，那麼存在乙個正交矩陣q使得a相似於
其中對角塊為一階或二階方陣，每乙個一階對角塊對應於a的乙個實特徵值，每乙個二階對角塊的兩個特徵值是a的一對共軛復特徵值。
2.qr方法的一般形式：
對任意實方陣a，由qr方法產生的矩陣序列本質上收斂於分塊上三角矩陣（對角塊以上的元素可能不收斂），其中對角塊為一階或二階方陣，每乙個一階對角塊對應於a的乙個實特徵值，每乙個二階對角塊的兩個特徵值是a的一對共軛復特徵值。
3.householder變換（矩陣）
設υ為n維單位向量，即υt υ=1 ； h=1-2υυt
（1） householder矩陣是正交矩陣；
（2） 對任意的，記，有；
（3） 記s為與w垂直的平面,則幾何上x與y=hx關於平面s對稱。事實上,由得知：
設有非零向量s和單位向量e，則必存在householder矩陣h使得hs＝±αe，其中α是實數且
設a是乙個n階實方陣，那麼a可分解為乙個正交矩陣q和乙個上三角矩陣r的乘積，a＝qr。
三、 本章思考題
冪法計算矩陣特徵值和特徵向量的基本思想是設n×n實矩陣a具有n個線性無關的特徵向量，其相應的特徵值為，任取一n維非零向量u0，從u0出發，按照遞推公式。因n維向量組線性無關，故對向量u0必存在唯一的不全為0的陣列a1,a2,…,an,使得
設a1≠0,由上式可以看出，當k充分大時有，得迭代公式： 。 從實際中來看，為了避免迭代向量uk的模過大，（當）或過小（當），通常對ukj進行歸一化，使其範數等於1。
一般來說，我們都使用或者範數來歸一，如果我們用範數來歸一會出現什麼效果呢？
思路： 以一定的方式，構造乙個初值和乙個迭代公式，將初值帶入迭代公式，持續一定次數後，兩次迭代的結果的誤差達到一定值時，迭代終止。得出相應的特徵值和特徵向量。
四、 本章測驗題
jacobi方法是用於求（）的全部特徵值和特徵向量的一種方法。
a.正交矩陣b.實對稱矩陣
c.上三角矩陣d.下三角矩陣
答案：b.實對稱矩陣
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