第5章插值與逼近
學習小結
姓名王富民班級研1302 學號 s2
一、 本章學習體會
本章為插值與逼近，是非常重要的一章。插值與逼近都是指用某個簡單的函式在滿足一定的條件下，在某個範圍內近似代替另乙個較為複雜或者解析表示式未給出的函式，以便於簡化對後者的各種計算或揭示後者的某些性質。
一元函式插值中，差商表的應用，通過把，一階差商，二階差商，三階差商等列入乙個**中，依次計算出各值，就可得出***won插值多項式的係數，過程清晰明了。
最大的收穫是幾種常用的正交多項式的應用問題，每個多項式都有表示式，遞推關係式和一些性質，可以很簡單的寫出最佳平方逼近多項式，還有就是曲線擬合，通過散點圖，找出最佳多項式，使誤差最小，並可以做出擬合曲線圖，這個只是點可以應用到專業方面上的分析求解問題。
二、 本章知識梳理
1.重點是lagrange插值、newton插值。
①lagrange插值基函式
②lagrange插值多項式
③節點擊取原則：居中原則
④lagrange插值多項式的特點：直觀對稱，易建立插值多項式；
但無繼承性。
newton插值主要是差商的理解與應用。差商(divided difference)也稱為均差，是導數的離散形式。
2.正交多項式的概念與性質
①權函式②內積③正交④正交函式系
克萊姆-施密特正交化方法：
3.幾種常用的正交多項式
①legendre多項式
②chebyshev多項式
③laguerre多項式
④hermite多項式
4.函式的最佳平方逼近
1. 最佳平方逼近概念
2. 最佳平方逼近的條件
3. 最佳平方逼近元素是唯一的
4. 最佳平方逼近元素的求法，求係數
5. 最佳平方逼近誤差
5.曲線擬合
1.曲線擬合的最小二乘法
2.擬合曲線的求法
， 法方程為
三、 本章思考題
計算方法中插值與擬合的區別與聯絡是什麼？
插值和擬合都是函式逼近重要組成部分他們的共同點都是通過已知一些離散點集m上的約束，求乙個定義在連續集合s(m包含於s)的未知連續函式，從而達到獲取整體規律的目的。簡單的講，所謂擬合是指已知某函式的若干離散函式值，通過調整該函式中若干待定係數f(λ1, λ2,…,λ3), 使得該函式與已知點集的差別(最小二乘意義)最小。
而插值是指已知某函式的在若干離散點上的函式值或者導數資訊，通過求解該函式中待定形式的插值函式以及待定係數，使得該函式在給定離散點上滿足約束，插值函式又叫作基函式。如果約束條件中只有函式值的約束，叫作lagrange插值，否則叫作hermite插值。
從幾何意義上將，擬合是給定了空間中的一些點，找到乙個已知形式未知引數的連續曲面來最大限度地逼近這些點；而插值是找到乙個連續曲面來穿過這些點。作曲線擬合，選擇基函式是至關重要的，通常要根據具體問題的物理背景或座標點的分布情況去選擇。
四、 本章測驗題
求過節點的牛頓插值多項式，並
計算和。
解：首先由差商公式：
列出差商表，如下：
把，，代入二階牛頓插值多項式
得:故由三階牛頓插值多項式：
將和代入上式，得：
故本題主要考察通過列出差商表，求解newton插值多項式。
數值分析第五章
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第五章小結
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