第7章常微分方程初值問題的數值解法
學習小結
一、 本章學習體會
本章的主要內容是要掌握如何用數值解代替其精確解，這對於一些特殊的微分方程，特別是一些不好解其通解方程是非常有用的。對於本章我總結如下幾點：
1、本章計算量相對較小，重要是其思想。在做題過程中，要理解各種方法的原理及推導過程。
2、本章對泰勒展開法有一定要求。無論是求方法的階數還是推導數值解法的公式經常用到泰勒展開。因此，我們對於泰勒級數要有很清楚的認識。
3、在求數值解法的公式推導時，經常用到第六章的插值型求積公式。可見，在整本書中，知識往往是貫通的。
二、 本章知識梳理
將初值問題離散化數值微分法
（離散變數法）
數值積分法區域性截斷誤差
taylor級數法
整體截斷誤差
初值問題數值解法的一般形式：
常微分方程初值問題的數值解法的分類顯式方法
隱式方法
一般形式
區域性截斷誤差
整體截斷誤差
顯示單步法區域性截斷誤差與整體截斷誤差的關係
若，則若數值方法的區域性截斷誤差為，則稱這種數值方法的階數是
顯式尤拉公式
尤拉法 隱式尤拉公式
基本思想
等價於龍格-庫塔法
不同點的數值解加權平均代替而使得截斷誤差的階數盡可能高
n級r-k方法的形式
相容性，收斂性和絕對穩定性
1、相容性：
設增量函式在區域上連續，且對滿足lipschitz條件，則單步法與微分方程相容的充要條件是單步法至少是一階的方法
2、收斂性;
（1）定義：若對任意的及任意的，極限則稱單步法是收斂的
（2）單步法的收斂的充要條件：
（3）收斂與相容的關係:
設增量函式在區域上連續，且對滿足lipschitz條件，則單步法與微分方程相容的充要條件是單步法是收斂的
3、穩定性（描述初始值的誤差對計算結果的影響）
4、絕對穩定性：
線性多步法的基本思想
線性多步法的一般形式
線性多步法simpson公式
admas公式
基於數值積分方法
milne公式
線性多步法的構造
基於泰勒展開的待定係數法
三、 本章思考題
試用數值積分法建立常微分方程的初值問題：
的數值求解公式：
解：由得1）
對於（1）式。左右兩邊同時在上積分得：
左邊2）
右邊3）
其中帶入（3）式化簡整理可得：
將（2）（3）帶入（1）中可得：
四、 本章檢測題
試用taylor級數法（取p=2）匯出求解初值問題
的數值方法，並指出此方法的階。
解令t=tn
則， n=0,1,2…
由於，所以此方法為二階方法。
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第五章插值與逼近 學習小結 姓名班級學號 一 本章學習體會 本章主要介紹插值與逼近，是指用某個簡單的函式在滿足一定的條件下，在某個範圍內近似代替某個複雜或者解析表示式未知的函式，以便簡化對後者的各種計算或者揭示後者某些性質。函式插值是對函式的離散資料建立簡單的數學模型。對本章的學習我對插值法有了進一...
數值分析 顏慶津 第4章學習小結
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