引言 1、差分方程： 差分方程反映的是關於離散變數的取值與變化規律。通過建立乙個或幾個離散變數取值所滿足的平衡關係，從而建立差分方程。
差分方程就是針對要解決的目標，引入系統或過程中的離散變數，根據實際背景的規律、性質、平衡關係，建立離散變數所滿足的平衡關係等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特別性質（平衡性、穩定性、漸近性、振動性、週期性等），從而把握這個離散變數的變化過程的規律，進一步再結合其他分析，得到原問題的解。
2、應用：差分方程模型有著廣泛的應用。實際上，連續變數可以用離散變數來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似於某個差分方程模型。
差分方程模型有著非常廣泛的實際背景。在經濟金融保險領域、生物種群的數量結構規律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用。可以這樣講，只要牽涉到關於變數的規律、性質，就可以適當地用差分方程模型來表現與分析求解。
3、差分方程建模： 在實際建立差分方程模型時，往往要將變化過程進行劃分，劃分成若干時段，根據要解決問題的目標，對每個時段引入相應的變數或向量，然後通過適當假設，根據事物系統的實際變化規律和數量相互關係，建立每兩個相鄰時段或幾個相鄰時段或者相隔某幾個時段的量之間的變化規律和運算關係（即用相應設定的變數進行四則運算或基本初等函式運算或取最運算等）等式（可以多個並且應當充分全面反映所有可能的關係），從而建立起差分方程。或者對事物系統進行劃分，劃分成若干子系統，在每個子系統中引入恰當的變數或向量，然後分析建立起子過程間的這種量的關係等式，從而建立起差分方程。
在這裡，過程時段或子系統的劃分方式是非常非常重要的，應當結合已有的資訊和分析條件，從多種可選方式中挑選易於分析、針對性強的劃分，同時，對劃分後的時段或子過程，引入哪些變數或向量都是至關重要的，要仔細分析、選擇，盡量擴大對過程或系統的數量感知範圍，包括對已有的、已知的若干量進行結合運算、取最運算等處理方式，目的是建立起簡潔、深刻、易於求解分析的差分方程。在後面我們所舉的實際例子中，這方面的內容應當重點體會。
差分方程模型作為一種重要的數學模型，對它的應用也應當遵從一般的數學建模的理論與方法原則。同時注意與其它數學模型方法結合起來使用，因為一方面建立差分方程模型所用的數量、等式關係的建立都需要其他的數學分析方式來進行；另一方面，由差分方程獲得的結果有可以進一步進行優化分析、滿意度分析、分類分析、相關分析等等。
第一節差分方程的基本知識
一、 基本概念
1、 差分運算元
設數列，定義差分運算元為在處的向前差分。
而為在處的向後差分。
以後我們都是指向前差分。
可見是的函式。從而可以進一步定義的差分：
稱之為在處的二階差分，它反映的是的增量的增量。
類似可定義在處的階差分為：
2、 差分運算元 、不變運算元、平移運算元
記，稱為平移運算元，為不變運算元 。
則有：由上述關係可得：
1） 這表明在處的階差分由在，處的取值所線性決定。
反之，由得 ：
得：, 這個關係表明：第n+2項可以用前兩項以及相鄰三項增量的增量來表現和計算。
即乙個數列的任意一項都可以用其前面的k 項和包括這項在內的k+1 項增量的增量的增量……..第k 層增量所構成。
得：2）
可以看出：
可以由的線性組合表示出來
3、 差分方程
由以及它的差分所構成的方程
3）稱之為k階差分方程。
由（1）式可知（3）式可化為
4）故（4）也稱為k階差分方程（反映的是未知數列任意一項與其前，前面k項之間的關係）。
由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等價的。
我們經常用的差分方程的形式是（4）式。
4、 差分方程的解與有關概念
（1） 如果使階差分方程（4）對所有的成立，則稱為方程（4）的解。
（2） 如果（為常數）是（4）的解，即
則稱為（4）的平衡解或叫平衡點。平衡解可能不只乙個。平衡解的基本意義是：設是（4）的解，考慮的變化性態，其中之一是極限狀況，如果，則方程（4）兩邊取極限（就存在在這裡面），應當有
（3） 如果（4）的解使得既不是最終正的，也不是最終負的，則稱為關於平衡點是振動解。
（4） 如果令：，則方程（4）會變成
5）則成為（5）的平衡點。
（5） 如果（5）的所有解是關於振動的，則稱階差分方程 （5）是振動方程。如果（5）的所有解是關於非振動的，則稱階差分方程（5）是非振動方程。
（6） 如果（5）有解，使得對任意大的有
則稱為正則解。（即不會從某項後全為零）
（7） 如果方程（4）的解使得，則稱為穩定解。
5、 差分運算元的若干性質
（1）2）
3）4）
（5）第二節差分方程常用解法與性質分析
1、 常係數線性差分方程的解
方程8）
其中為常數，稱方程（8）為常係數線性方程。
又稱方程9）
為方程（8）對應的齊次方程。
如果（9）有形如的解，帶入方程中可得：
10） 稱方程（10）為方程（8）、（9）的特徵方程。
顯然，如果能求出（10）的根，則可以得到（9）的解。
基本結果如下：
（1） 若（10）有k個不同的實根，則（9）有通解：
（2） 若（10）有m重根，則通解中有構成項：
（3）若（10）有一對單復根 ，令：，，則（9）的通解中有構成項：
（4） 若有m 重複根：，，則（9）的通項中有構成項：
綜上所述，由於方程（10）恰有k 個根，從而構成方程
（9）的通解中必有k個獨立的任意常數。通解可記為：
如果能得到方程（8）的乙個特解：，則（8）必有通解：
11）（8） 的特解可通過待定係數法來確定。
例如：如果為n 的多項式，則當b不是特徵根時，可設成形如形式的特解，其中為m次多項式；如果b是r重根時，可設特解： ，將其代入（8）中確定出係數即可。
例1 設差分方程，求
解：特徵方程為，有根：
故：為方程的解。
由條件得：
2、 二階線性差分方程組
設，，形成向量方程組
12）則13）
（13）即為（12）的解。
為了具體求出解（13），需要求出，這可以用高等代數的方法計算。常用的方法有：
1）如果a為正規矩陣，則a必可相似於對角矩陣，對角線上的元素就是a的特徵值，相似變換矩陣由a的特徵向量構成：。
2）將a 分解成為列向量，則有
從而，（3） 或者將a相似於約旦標準形的形式，通過討論a的特徵值的性態，找出的內在構造規律，進而分析解的變化規律，獲得它的基本性質。
3、 關於差分方程穩定性的幾個結果
（1）k 階常係數線性差分方程（8）的解穩定的充分必要條件是它對應的特徵方程（10）所有的特徵根滿足
2）一階非線性差分方程
14）14）的平衡點由方程決定，
將在點處展開為泰勒形式：
15） 故有：時，（14）的解是穩定的，
時，方程（14）的平衡點是不穩定的。
第三節差分方程建模舉例
差分方程建模方法的思想與與一般數學建模的思想是一致的，也需要經歷背景分析、確定目標、預想結果、引入必要的數值表示（變數、常量、函式、積分、導數、差分、取最等）概念和記號、幾何形式（事物形狀、過程軌跡、座標系統等），也就是說要把事物的性態、結構、過程、成分等用數學概念、原理、方法來表現、分析、求解。當然，由於差分方程的特殊性，首先應當把系統或過程進行特別分解，形成表現整個系統的各個部分的離散取值形式，或形成變化運動過程的時間或距離的分化而得到離散變數。然後通過內在的機理分析，找出變數所能滿足的平衡關係、增量或減量關係及規律，從而得到差分方程。
另外，有時有可能通過多個離散變數的關係得到我們關心的變數的關係，這實際上建立的是離散向量方程，它有著非常重要的意義。有時還需要找出決定變數的初始條件。有時還需要將問題適當分成幾個子部分，分別求解。
差分方程模型的理論和方法
引言 1 差分方程 差分方程反映的是關於離散變數的取值與變化規律。通過建立乙個或幾個離散變數取值所滿足的平衡關係，從而建立差分方程。差分方程就是針對要解決的目標，引入系統或過程中的離散變數，根據實際背景的規律 性質 平衡關係，建立離散變數所滿足的平衡關係等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解...
計算方法 常微分方程的差分方法實驗
實驗三常微分方程的差分方法實驗 一.實驗目的 1 深入理解常微分方程的差分方法的原理，學會用差分方法解決某些實際的常微分方程問題，比較這些方法解題的不同之處。2 熟悉matlab程式設計環境，利用matlab實現具體的常微分方程。二.實驗要求 用matlab軟體實現尤拉方法 改進的尤拉方法 龍格 庫...
第四章差分方程方法
在實際中，許多問題所研究的變數都是離散的形式，所建立的數學模型也是離散的，譬如，像政治 經濟和社會等領域中的實際問題。有些時候，即使所建立的數學模型是連續形式，例如像常見的微分方程模型 積分方程模型等等，但是，往往都需要用計算機求數值解。這就需要將連續變數在一定條件下進行離散化，從而將連續型模型轉化...