我們在第一章中討論了線性方程組的解的情況，現在進一步研究它的解的結構。
2.4.1 齊次線性方程組解的結構
對齊次線性方程組
4.1)
係數矩陣,
則方程組(4.1)矩陣方程4.2)
我們也稱方程(4.2)的解為方程組(4.1)的解向量.
齊次線性方程組(4.1)的解具有下列性質：
性質2.4.1 如果是齊次線性方程組(4.1)的兩個解，為任意常數，則也是它的解。
證：因為是齊次線性方程組(4.1)的兩個解，因此有：
,得： 所以也是齊次線性方程組(4.1)的解。
由性質2.4.1可推得下面結論成立：
如果都是齊次線性方程組(4.1)的解，是任意常數，則
也是它的解。
當乙個齊次線性方程組有無窮多解時，每乙個解就是乙個n維解向量，這無窮多個解向量構成了乙個向量組（稱為解向量組），記作s。由性質2.4.
1可知s是乙個向量空間。此時，如果能找到s的乙個最大線性無關組，我們就得到了齊次線性方程組的全部解。這是因為齊次線性方程組（4.
1）的每乙個解都可以用其線性表示。
定義2.4.1 如果是齊次線性方程組(4.1)的解空間s的乙個最大線性無關組，則稱是齊次線性方程組(4.1)的乙個基礎解系。
顯然，齊次線性方程組的基礎解系不唯一。
定理2.4.1 如果齊次線性方程組(4.1)的係數矩陣的秩，則齊次線性方程組的基礎解系一定存在，且每個基礎解系中恰恰含有個解。
證：因為，所以齊次線性方程組有無窮多解，同解方程可表達為
4.3)
其中為自由未知量。對個自由未知量分別取
代入(4.3)可得齊次線性方程組的個解：
下面證明是齊次線性方程組的乙個基礎解系，首先證明線性無關。因為向量組是線性無關，則由定理2.2.3得線性無關。
再證齊次線性方程組的任意乙個解都可由線性表示。
因為是齊次線性方程組的解，所以滿足(4.3)式：
從而即是的線性組合，所以是齊次線性方程組的乙個基礎解系。
定理2.4. 2 如果齊次線性方程組(4.1)的係數矩陣的秩，則齊次線性方程組的解空間。
證明 （略）
設是s的乙個最大無關組，則
即解空間s是由其最大無關組所生成的空間。
例4.1 求齊次線性方程組的乙個基礎解系，並用此基礎解系表示它的全部解。
解：先將方程組的係數矩陣化為行最簡形
因為，所以齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解
對自由未知量分別取=，代入上式得到齊次線性方程組的乙個基礎解系
則齊次線性方程組的全部解為
為任意常數）
注：也可令=，則得到基礎解系
齊次線性方程組的全部解為
為任意常數）
例4.2 求齊次線性方程組的乙個基礎解系。
解： 因為，所以齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解
取自由未知量代入上式得齊次線性方程組的乙個基礎解系為：
2.4.2 非齊次線性方程組解的結構：
對非齊次線性方程組
4.4)
它也可寫作向量方程
4.5)
下面討論非齊次線性方程組的解和它的匯出組解之間關係。
性質2.4.2 （1）如果是非齊次線性方程組的解，是其匯出組的乙個解，則是非齊次線性方程組的解。
(2 ) 如果是非齊次線性方程組的兩個解，則是其匯出組的解。
證（1）：由已知得所以有
即是非齊次線性方程組的解。
證（2）：由得：
即是其匯出組的解。
定理2.4.2 如果是非齊次線性方程組的乙個特解，是其匯出組的全部解，則是非齊次線性方程組的全部解。
證明：由性質2.4.1可證得
由此可知：如果非齊次線性方程組有無窮多解，則其匯出組一定有非零解，且非齊次線性方程組的全部解（通解）可表示為
其中是非齊次線性方程組的乙個特解，是匯出組的乙個基礎解系。
例4.3 求非齊次線性方程組的通解，並用其匯出組的基礎解系表示其全部解。
解：先將方程組的增廣矩陣化為行最簡形
因為，所以非齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解
取自由未知量，代入上式得非齊次方程組的乙個特解為：
再求其匯出組的基礎解系，其匯出組與方程組同解
對自由未知量為分別取，代入上式得到其匯出組的乙個基礎解系為：
則原方程組的全部解為：
為任意常數）
例4.4 求非齊次線性方程組的解，用其匯出組的基礎解系表示其全部解。
解： 因為，所以非齊次線性方程組有無窮多組解，取自由未知量為，原方程組與方程組同解
取自由未知量為，得原方程組的乙個特解：
再求其匯出組的基礎解系，其匯出組與方程組同解
對自由未知量分別取，代入上式得到其匯出組的乙個基礎解系為
則原方程組的全部解為：
例 4.5 已知是齊次線性方程組的乙個基礎解系，證明
也是齊次線性方程組的乙個基礎解系。
證：由已知，齊次線性方程組的基礎解系含有3個解向量，並且由齊次線性方程組解的性質可知都是的解；因此只要證明線性無關即可。
設存在數使
成立。整理得：
4.6)
已知是齊次線性方程組的乙個基礎解系，即得線性無關，則由(4.6)得，解得：
所以線性無關。即也是齊次線性方程組的乙個基礎解系。
例4.6 設矩陣。證：的充分必要條件是矩陣的每一列向量都是齊次方程組的解。
證：把矩陣按列分塊：，其中是矩陣的第i列向量，零矩陣也按列分塊
則必要性：可得：
即是齊次方程組的解。
充分性：矩陣b的每一列向量都是齊次方程組的解，即有
得： ，即證。
例4.7 設是四元非齊次線性方程組的三個解向量，且矩陣a的秩為3，，求的通解。
解：因為的秩為3，則的基礎解系含有4－3＝1個解向量。
由線性方程組解的性質得：是的解，
則解得的乙個非零解為：。
由此可得的通解為：。
2.4.3 學生自主學習部分
這一部分還沒想好，時間太緊了，下面的先給學生做練習用吧。
1、求解非齊次線性方程組：
解：因為，所以方程組有無窮多組解，取為自由未知量。得特解：和基礎解系：。
即得方程組的全部解為： 。
2、求下列齊次方程組的乙個基礎解系
解：主元為對應的列，選非主元為自由未知量，它們所在的行對應乘以主元的係數（恆等於1）的負值，即為三個解向量的座標的值，由於原方程有5個未知數，故需要用單位向量的三列分別補上的位置，則基礎解系為：
3、求下列齊次方程組的通解：
解：在上述的行最簡形中，有兩個主元，主元的個數就是秩，解向量有個基礎解，又由於有4個未知數，故使用的兩列分別補上的位置，最後所求的基礎解系如下：
4、設都是階方陣，齊次方程組，有相同的基礎解系，則必是的基礎解系。
解：齊次方程組的解具有三個要素：一是方程組的解；二是線性無關；三是所有的解都能由個解向量線性表出（注意：是方程組未知數的個數）。
依題意，，顯然是的解，而且是線性無關的，故不對。下面關鍵是判斷中，哪個方程組的係數矩陣的秩是或哪個方程組得任意乙個解能由線性表出。
由於，故不對；
由於， 故也不對；
使用排除法，當然對。我們將分析如下：
由於，同時成立。設是的任意乙個解，則有同時成立，就能由的基礎解系線性表出，故正確。
5、已知列向量是方程組的三個解，求通解。
解： ，是的兩個線性無關解
又中至少有二階子式不為0
故故基礎解系正好只有兩個
6、問入為何值時：
（1）可由線性表示，且唯一
（2）可由線性表示，且不唯一
（3）不能由線性表示
解：設則
可見：（1）解唯一時可滿足且
（2）（3）
7、 已知為四維列向量，其中線性無關，； 求的通解。
解： 令
把代入上式得：
，為一維解空間；
8、，求秩的三階矩陣，使。
解 ，基礎解系為：
由於秩，所求矩陣第三列取0向量
線性方程組解的結構
我們在第一節討論了線性方程組的解的情況，現在進一步研究它的解的結構。一 齊次線性方程組解的結構 齊次線性方程組的矩陣形式為 ax 0 1 其中,齊次線性方程組 1 的解有下列性質 1 如果是齊次線性方程組 1 的兩個解，則也是它的解。證 因為是齊次線性方程組 1 的兩個解，因此有 得 所以也是齊次線...
線性方程組的解
一 多項選擇 1 元齊次線性方程組有非零解，則 d 2 設a是階方陣，則可逆的充要條件是 a c d 齊次線性方程組只有零解齊次線性方程組有非零解 3 非齊次線性方程組有唯一解的充要條件為 c bd 4 設是矩陣，是非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組，則下列結論正確的是 c d 若僅有零解，則有...
6線性方程組解的結構
6 線性方程組解的結構 在解決線性方程組有解的判別條件之後，進一步來討論線性方程組解的結構.所謂解的結構問題就是解與解之間的關係問題.一 齊次線性方程組的解的結構設1 是一齊次線性方程組，它的解所成的集合具有下面兩個重要性質 1.兩個解的和還是方程組的解.2.乙個解的倍數還是方程組的解.從幾何上看，...