我們在第一節討論了線性方程組的解的情況，現在進一步研究它的解的結構。
一、 齊次線性方程組解的結構
齊次線性方程組的矩陣形式為 ax=0 (1)
其中,。
齊次線性方程組(1)的解有下列性質：
(1) 如果是齊次線性方程組(1)的兩個解，則也是它的解。
證：因為是齊次線性方程組(1)的兩個解，因此有：
,得： 所以也是齊次線性方程組(1)的解。
(2) 如果是齊次線性方程組(1)的解，則也是它的解。（是常數）
證：已知是齊次線性方程組(1)的解，所以有
從而即也是齊次線性方程組(1)的解。
由性質(1),(2)可得：
(3)如果都是齊次線性方程組(1)的解，則其線性組合也是它的解。其中都是任意常數。
當乙個齊次線性方程組有非零解，即它有無窮多解，這無窮多解構成了乙個向量組（稱為解向量組）。若我們能求出這解向量組的乙個極大線性無關組，那麼就能用它的線性組合表示這個齊次線性方程組的全部解。
定義1：如果是齊次線性方程組(1)的解向量組的乙個極大線性無關組，則稱是齊次線性方程組(1)的乙個基礎解系。
定理1：如果齊次線性方程組(1)的係數矩陣a的秩，則齊次線性方程組的基礎解系一定存在，且每個基礎解系中恰恰含有個解。
證：因為，所以齊次線性方程組有無窮多解，且齊次線性方程組的一般解為：
1）其中為自由未知量。對n-r個自由未知量分別取
代入(1)可得齊次線性方程組的n-r個解：
下面證明是齊次線性方程組的乙個基礎解系，首先證明線性無關。因為向量組是線性無關，則由上節所證明的性質得線性無關。
再證齊次線性方程組的任意乙個解都可由線性表示。
因為是齊次線性方程組的解，所以滿足(1)式：
從而即是的線性組合，所以是齊次線性方程組的乙個基礎解系，因此齊次線性方程組的全部解為：
式中為任意常數。
例1：求齊次線性方程組的乙個基礎解系，並用此基礎解系表示它的全部解。
解： 因為，所以齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解
對自由未知量分別取=，代入上式得到齊次線性方程組的乙個基礎解系為：
則齊次線性方程組的全部解為：
為任意常數）
例2：求齊次線性方程組的乙個基礎解系。
解： 因為，所以齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解
取自由未知量=1，代入上式得齊次線性方程組的乙個基礎解系為：
例3：求齊次線性方程組的乙個基礎解系。
解： 因為，所以齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解
對自由未知量為分別取和，代入上式得到方程組的乙個基礎解系為：和
二、 非齊次線性方程組解的結構：
非齊次線性方程組可表示為ax=b，稱齊次線性方程組ax=0為非齊次線性方程組ax=b的匯出組。
下面討論非齊次線性方程組的解和它的匯出組解之間關係。
(1) 如果是非齊次線性方程組ax=b的解，是其匯出組ax=0的乙個解，則是非齊次線性方程組ax=b的解。
證：由已知得
所以有即是非齊次線性方程組的解。
(2)如果是非齊次線性方程組ax=b的兩個解，則是其匯出組ax=0的解。
證：由得：
即是其匯出組ax=0的解。
定理2：如果是非齊次線性方程組的乙個特解，是其匯出組的全部解，則是非齊次線性方程組的全部解。
由此可知：如果非齊次線性方程組有無窮多解，則其匯出組一定有非零解，且非齊次線性方程組的全部解可表示為：
其中是非齊次線性方程組的乙個特解，是匯出組的乙個基礎解系。
例4：求非齊次線性方程組的解，用其匯出組的基礎解系表示其全部解。
解： 因為，所以非齊次線性方程組有無窮多解。取自由未知量為，原方程組與方程組同解
取自由未知量，代入上式得非齊次方程組的乙個特解為：
再求其匯出組的基礎解系，其匯出組與方程組同解
對自由未知量為分別取，代入上式得到其匯出組的乙個基礎解系為：
則原方程組的全部解為：
（為任意常數）
例5：求非齊次線性方程組的解，用其匯出組的基礎解系表示其全部解。
解： 因為，所以非齊次線性方程組有無窮多組解，取自由未知量為，原方程組與方程組同解
取自由未知量為，得原方程組的乙個特解：
再求其匯出組的基礎解系，其匯出組與方程組同解
對自由未知量分別取，代入上式得到其匯出組的乙個基礎解系為：
則原方程組的全部解為：
練習：求解非齊次線性方程組：
解：因為，所以方程組有無窮多組解，取為自由未知量。得特解：和基礎解系：。
即得方程組的全部解為： 。
例6：已知是齊次線性方程組ax＝0的乙個基礎解系，證明
也是齊次線性方程組ax＝0的乙個基礎解系。
證：由已知可得：齊次線性方程組ax＝0的基礎解系含有3個解向量，並且由齊次線性方程組解的性質可知都是ax＝0的解；因此只要證明線性無關即可。
設存在數使
成立。整理得：
1）已知是齊次線性方程組ax＝0的乙個基礎解系，即得線性無關，則由(1)得，解得：
所以線性無關。即也是齊次線性方程組ax＝0的乙個基礎解系。
例7：設矩陣a＝。證：ab＝0的充分必要條件是矩陣b的每一列向量都是齊次方程組ax=0的解。
證：把矩陣b按列分塊：，其中是矩陣b的第i列向量，零矩陣也按列分塊
則必要性：ab＝0可得：
即是齊次方程組ax=0的解。
充分性：矩陣b的每一列向量都是齊次方程組ax=0的解，即有
得： ，即證。
例8：設是四元非齊次線性方程組ax＝b的三個解向量，且矩陣a的秩為3，，求ax＝b的通解。
解：因為a的秩為3，則ax＝0的基礎解系含有4－3＝1個解向量。
由線性方程組解的性質得：是ax＝0的解，
則解得ax＝0的乙個非零解為：。
由此可得ax＝b的通解為：。
線性方程組的解
一 多項選擇 1 元齊次線性方程組有非零解，則 d 2 設a是階方陣，則可逆的充要條件是 a c d 齊次線性方程組只有零解齊次線性方程組有非零解 3 非齊次線性方程組有唯一解的充要條件為 c bd 4 設是矩陣，是非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組，則下列結論正確的是 c d 若僅有零解，則有...
6線性方程組解的結構
6 線性方程組解的結構 在解決線性方程組有解的判別條件之後，進一步來討論線性方程組解的結構.所謂解的結構問題就是解與解之間的關係問題.一 齊次線性方程組的解的結構設1 是一齊次線性方程組，它的解所成的集合具有下面兩個重要性質 1.兩個解的和還是方程組的解.2.乙個解的倍數還是方程組的解.從幾何上看，...
6線性方程組解的結構
6 線性方程組解的結構 在解決線性方程組有解的判別條件之後，進一步來討論線性方程組解的結構.所謂解的結構問題就是解與解之間的關係問題.一 齊次線性方程組的解的結構設1 是一齊次線性方程組，它的解所成的集合具有下面兩個重要性質 1.兩個解的和還是方程組的解.2.乙個解的倍數還是方程組的解.從幾何上看，...