作者：謝玉倩王培
一、 研究現狀
非線性代數方程組求解是乙個基本而又重要的問題，這是因為在工作實踐、
經濟學、資訊保安和動力學等方面有大量的實際問題最終轉化為代數方程組。這
一類問題，我們不可能找到他們的解析解，數值解是目前主要的研究方向。數值
解法較為成熟，速度快，但其往往只能求出部分解，而且通常只能求出近似解。
它一般用於解決大型問題。newton法是數值方法求解非線性方程組的一種基本
方法。根據其特點和不足，對newton法進行簡化和修正。並且與其他數值解法（如
區間法)相結合，形成其他更加完善的求解非線性方程組的方法。
二、 問題的提出
n個變數n個方程的非線性方程組，其一般形式如下：
式(1)中是定義在n維歐式空間中開域d上的實值
函式。若用向量記，令：
則方程組（1）也可表示為：
其中：為賦值空間。
非線性數值方法種類較多，最常用的是newton迭代法。求解非線性方程組
的newton法是乙個最基本而且十分重要的方法，目前使用的很多有效的迭代法
都是以newton法為基礎，或由它派生而來。下面首先介紹幾種newton法及其原
理，然後使用mathwmatica編寫程式，最後通過乙個計算機例項說明幾種牛頓
法的差異。為方便起見
記：以及雅可比矩陣：
三、 各種方法原理及math程式
1、 newton法
（1） 方法原理的概述
像單個方程的newton迭代法一樣，採用逐次線性化的方法構造方程（1）的
newton迭代法。在某個近似解處，將向量作taylor展開，則有：
從而得到（2）的近似方方程
令，將newton法的接待公式改寫為：
每一步迭代均需解newton方程組:
這是乙個線性方程組，可用高斯消去法求解。
通常可用：
作為newton法的終止迭代準則，其中味預先給定的精度要求，有時也可用
預先確定的最大迭代次數m作為終止迭代條件。
(2)math程式及程式說明
程式行是在定義雅可比矩陣（方程組的維數及各個方程的具體形式以後
面出現的例題為參考），7-14行是高斯法求解方程組的矩陣分解準備，15-22行是
程式的主題部分，是乙個迴圈，是對方程組（3）的數學陳旭語言翻譯。在這個循
環中又巢狀了乙個迴圈（18-19行），是高斯法求解的具體形
式，求出。其中h是誤差控制。
2、 簡化的newton法
（1） 方法原理概述
儘管newton法具有較高的收斂速度，但在每一步迭代中，要計算n個函式值
f以及各導數值形成雅可比矩陣而且要求的逆矩陣或者解一
個n階線性方程組，計算量很大。為了減少計算量。在上述newton法中，對於一
切，取為，於是迭代公式百年修正成為：
式(3)即為簡化的newton法。該方法能使計算量大為減少，單卻大大降低了收斂
速度。簡化的newton法的演算法與newton法的演算法區別就在於只由給定的初始近
似值計算於一次，以後在每一次迭代過程中不再計算，保持初始計算
值。（2）math程式及程式說明
與上面newton法類似，去區別在於整個計算工程中只計算了一次雅可不矩陣，2-10
行是在計算。
3、 修正的newton法
（1） 方法原理的概述
從以上兩種方法可以看出，它們各有利弊，如果吸取法收斂快於簡化的
newton法工作量省的優點，把m步簡化的newton步合成一次newton步。則可
義得到下列迭代序列：
式中：，該式稱為修正的newton法。在實際應用中，較
為常用的是m=2的情形。此時，（5）式也可以簡化為：
下面給出的程式是m取一般值時的情形。
(2)math 程式及程式說明
該程式是隨前兩種程式的結合改進。newton法收斂速度較快，但是計算
量大，計算時間較長。其主要原因是每次高斯法求解方程組都要計算雅克比矩陣，
而簡單newton法避免了這個問題。這也是兩者可以結合的主要契合點。程式中
m是newton步中簡單的子步數。即通過m控制雅克比矩陣計算次數的（最外
層for）。整個程式相當於執行了m個簡單newton步。每乙個簡單步的結
果作為下一次執行的。
四、 應用序列
下面以求解非線性方程組：為例，用
上面的newton法程式，簡化的newton法程式和修正的newton法程式分別求得不
同結果，並進行分析比較。
精度要求，取初值。
newton法結果如下：
可見，迭代7次可以達到精度要求。
簡化newton法結果如下：
可見，迭代26次才能達到精度要求，但運算速度較快。
修正的newton法結果如下：
可見，只迭代兩次即達到精度要求，且速遞較快。
五、 各方法比較與不足
通過分析newton法、簡化的newton法和修正newton法的原理，並通過對
算例的分析比較，我們可知：newton法（3）式具有較高的收斂速度，但計算量大，在
每一步迭代中，要計算n個函式值f以及個導數值形成雅可比矩陣，而
且要求是逆陣或者解乙個n階線性方程組；簡化的newton法（4）式，它用迭
代初值來計算，並在每個迭代保持不變，它能使每步迭代過程的計
算量大為減少，但大大降低了收斂速度修正newton法（5）與newton法（3）相比，在
每步迭代過程中增加計算n個函式值，並不增加求逆次數，然而收斂速度提高了，然
而。與一般的數值解法類似，修正newton法乃然是往往只能求出不分解，而
且也只能求得精度較高的近似值，比較適合大型問題。
六、 國內外研究課題
目前，newton迭代法求解線性方程組問題已經很成熟，不精確newton法（擬
newton法）是目前很大多數專家研究的課題，如大型稀疏非線性方程組的不精確
newton法，使用非單調技術的不精確預條件newton類方法解非線性方程組，解
奇異非光滑方程組的newton法和不精確newton法，非精確修正newton法，異
步並行非精確newton法等。
區間分析和區間計算也是目前國內外非線性組解法研究方向，只要用於處理
計算過程深紅輸入誤差、捨入誤差及截斷誤差等的誤差自動控制。在區間方法中，
用乙個區間代表乙個實數，當區間寬度非常小時，可以用這個區間表示該實數。
在將區間用於方程求解是，往往和各種數值方法想結合，比如與newton法相結
合構成區間newton法。另外，在求解過程中和二次分法相結合，判斷每個半區間
內是否有根存在，即使用branch-and-prune方法求方程的根。
線性方程組的解
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