上海交通大學
《計算實習》課程設計
報告課題名稱：線性方程組的求解
系 （院）： 理學院
專業： 數學與應用數學
班級學生姓名
學號指導教師： 李俊玲老師
開課時間： 2010-2011 學年一學期
摘要本文主要考慮了一類係數矩陣為正定對稱矩陣的線性方程組的求解問題，基於等價轉換可將該問題的求解轉化為乙個二次函式極小值點的求解。基於這種等價性，我們可以從構造二次函式的極小值點的演算法入手，尋求解線性方程組的演算法。這裡考慮了一種基於迭代思想構造的演算法，對該演算法的兩個關鍵部分給出了證明和推導，並給出相應的matlab程式，從而解出線性方程組。
最後用兩個例項驗證了所給程式的正確性。
關鍵字：線性方程組 matlab程式
一、問題重述：
第一題是要證明線性方程組ax=b 的解等價於求解二次函式的極小值點，即。
第二題是要給出最佳步長的推導過程。
第三題是要給出上述演算法的matlab程式（寫成函式的形式）。
第四題是：設方程組為
試用第三題給出的程式進行求解，取，，並作圖表示迭代結果。
第五題是要借助第三題的程式計算的極小值，取
，。二、問題分析：
第一題：將展開得到乙個n元函式，對它求一階導即可得到ax=b，再求二階導即可證明取極小值；
第二題：運用第一題的結論很容易得到第二題的答案，此為證法一； 也可以將視為關於的一元函式，對求一階導也能得到所需的結果，再求二階導大於零即可，此為證法二；
第三題要求給出文中所給迭代演算法的程式，該演算法滿足一定條件就結束迭代，可用while迴圈結構表示，將迭代結果儲存在乙個矩陣y中，y的第k列表示第k次迭代結果；
第四題直接呼叫第三題的程式，把相應的資料輸進去就可以得到所需的答案了，再通過作圖命令即可得到所需的影象了；
第五題由於將展開有常數項，與上述的展開式形式不一樣；故我們可先作變數代換x3=x3-1；這樣形式上就與一樣了；再由可得ax=b的矩陣形式：
再呼叫第三題給出的程式進行求解，最後將結果回代。
三、問題求解及程式：
第一題：
證明：由ax=b有：
= =因為：
所以：由該函式的表示式可以看出：該二次函式是關於的多元函式。
故： ===
令=0， ， =0， ， =0
得：此為n元線性方程組，將它寫成矩陣形式有：
1）因為a是對稱矩陣，所以：
=故（1）式變為：
=即ax=b,又：
因為hesse矩陣為：
h===a
由題知a為正定矩陣，
所以h>0故取極小值，也就是說：
線性方程組ax=b的解等價於求解二次函式的極小值點，即。
證畢！第二題：
證法一：
由第一題的結論知：滿足min的值必滿足ax=b！
故2）由得：
將它代入（2）式得：
化簡之後有：
因為為一引數，所以：
=所以：
證畢！證法二：
我們先證明幾個命題：
a為正定對稱矩陣；
(1)(2)(ax,y)=a(x,y)=(x,ay)
(3)（ax，y）=（x，ay）
(4)（x，y+z）=（x,y）+（x,z）
(5)（x+y，z）=z
=z=z
==（x,z）+(y,z)
（6）（x+y）（z+q）
=(x,z+q)+(y,z+q)
=(x,z)+(x,q)+(y,z)+(y,q)
由及上述公式有有：
=（a+a，）-（b，）
=+++
--此為關於的一元函式，故對求導，並將代入有：==-
令=0有：
對求二階導有：
=因為只要〉0；就大於0；所以:
>0故：
取極小值；所以：
證畢！第三題：
function y=w4(a,x,b,e)%定義乙個函式以求解線性方程組；這個程式需要輸入a,x,b,e 四個引數；a表示正定對稱矩陣a；x表示初始向量；b表示矩陣b；e表示；執行程式後得到的值y是乙個矩陣；其最後一列就是線性方程組的解；
r=b-a*x;% 計算；
y(:,1)=x;%記錄的值；
l=(r'*r)/((a*r)'*r); %計算第0步步長
x=x+l*r;% 計算第0步迭代值；
y(:,2)=x;% 記錄的值；
r=r-l*a*r;% 計算第1步的；
i=2;%i的初始值為2是為了方便的記錄迴圈過程中變化著的x的值；
while sqrt(r'*r)>e%給出迴圈結束的條件；
i=i+1;% 開始迴圈；
l=(r'*r)/((a*r)'*r); %計算第k步長，其中k=i-1；
x=x+l*r;% 計算第k步迭代值
r=r-l*a*r;%計算第k+1步的：
y(:,i)=x;%記錄的值；
end第四題：
將上述程式在m檔案中以w4.m命名並儲存後，在主介面輸入y=w4([6 3;3 2],[0;0],[0;-1],0.0001)即得最終結果：
x=真實值為x=
輸入plot(y(1,:),y(2,:))得到：
迭代結果的影象：
第五題：
在主介面輸入y=w4([8 0 0;0 2 0;0 0 4],[1;1;-1],[0;0;0],0.01)即得最終結果：
x=，換成原來的形式得x
故的極小值
真實值為x=，故的極小值
熊衛國 . 數學實驗教程[m]. 廣東： 中山大學出版社 . 2006.
線性方程組
一.選擇題 1 設是矩陣，是非其次線性方程組所對應齊次線性方程組，則下列結論正確的是 a 若僅有零解，則有惟一解 b 若有非零解，則有無窮多個解 c 若有無窮多個解，則僅有零解 d 若有無窮多個解，則有非零解 2.設是矩陣，已知是的基礎解系，則 a 線性無關b 線性無關 c 不能被線性表示d 不能被...
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