6線性方程組解的結構

§6 線性方程組解的結構

在解決線性方程組有解的判別條件之後，進一步來討論線性方程組解的結構.所謂解的結構問題就是解與解之間的關係問題.

一、齊次線性方程組的解的結構設1)

是一齊次線性方程組，它的解所成的集合具有下面兩個重要性質：

1. 兩個解的和還是方程組的解.

2. 乙個解的倍數還是方程組的解.

從幾何上看，這兩個性質是清楚的.在時，每個齊次方程表示乙個過得點的平面.於是方程組的解，也就是這些平面的交點，如果不只是原點的話，就是一條過原點的直線或乙個過原點的平面.

以原點為起點，而端點在這樣的直線或平面上的向量顯然具有上述的性質.

對於齊次線性方程組，綜合以上兩點即得，解的線性組合還是方程組的解.這個性質說明了，如果方程組有幾個解，那麼這些解的所有可能的線性組合就給出了很多的解.基於這個事實，我們要問：

齊次線性方程組的全部解是否能夠通過它的有限的幾個解的線性組合給出？

定義17 齊次線性方程組(1)的一組解稱為(1)的乙個基礎解系，如果

1）(1)的任乙個解都能表成的線性組合；

2）線性無關.

應該注意，定義中的條件2)是為了保證基礎解系中沒有多餘的解.

定理8 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，並且基礎解系所含解的個數等於，這裡表示係數矩陣的秩(以下將看到，也就是自由未知量的個數).

定理的證明事實上就是乙個具體找基礎解系的方法.

由定義容易看出，任何乙個線性無關的與某乙個基礎解系等價的向量組都是基礎解系.

二、一般線性方程組的解的結構

如果把一般線性方程組

9)的常數項換成0，就得到齊次線性方程組(1). 齊次線性方程組(1)稱為方程組(9)的匯出組.方程組(9)的解與它的匯出組(1)的之間有密切的關係：

1. 線性方程組(9)的兩個解的差是它的匯出組(1)的解.

2. 線性方程組(9)的乙個解與它的匯出組(1)的乙個解之和還是這個線性方程組的乙個解.

定理9 如果是線性方程組(9)的乙個特解，那麼線性方程組(9)的任乙個解都可以表成

其中是匯出組(1)的乙個解.因此，對於線性方程組(9)的任乙個特解，當取遍它的匯出組的全部解時，(10)就給出(9)的全部解.

定理9說明了，為了找出一線性方程組的全部解，只要找出它的乙個特殊的解以及它的匯出組的全部解就行了.匯出組是乙個齊次線性方程組，在上面已經看到，乙個齊次線性方程組的解的全體可以用基礎解系來表示.因此，根據定理我們可以用匯出組的基礎解系來表出一般線性方程組的一般解；如果是線性方程組(9)的乙個特解，是其匯出組的乙個基礎解系，那麼(9)的任乙個解都可以表成

推論**性方程組(9)有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的匯出組(1)只有零解.

線性方程組的理論與解析幾何中關於平面與直線的討論有密切的關係.來看線性方程組

11)(11)中每乙個方程表示乙個平面，線性方程組(11)有沒有解的問題就相當於這兩個平面有沒有交點的問題.我們知道，兩個平面只有在平行而不重合的情形沒有交點.(11)的係數矩陣與增廣矩陣分別是

與,它們的秩可能是1或者2.有三個可能的情形：

1. 秩=秩=1.這就是的兩行成比例，因而這兩個平面平行.又因為的兩行也成比例，所以這兩個平面重合.方程組有解.

2. 秩=1，秩=2.這就是說，這兩個平面平行而不重合. 方程組無解.

3. 秩=2.這時的秩一定也是2.在幾何上就是這兩個平面不平行，因而一定相交. 方程組有解.

下面再來看看線性方程組的解的幾何意義.設矩陣的秩為2，這時一般解中有乙個自由未知量，譬如說是，一般解的形式為

12)從幾何上看，兩個不平行的平面相交在一條直線.把(12)改寫一下就是直線的點向式方程

.如果引入引數，令，(12)就成為

13)這就是直線的引數方程.

(11)的匯出方程組是

14)從幾何上看，這是兩個分別與(11)中平面平行的且過原點的平面，因而它們的交線過原點且與直線(12)平行.既然與直線(12)平行，也就是有相同的方向，所以這條直線的引數方程就是

15)(13)與(15)正說明了線性方程組(11)與它的匯出組(14)的解之間的關係.

例1 求線性方程組

的乙個基礎解系.

例2 設線性方程組

用它的匯出齊次方程組的基礎解系表示它的全部解.

6線性方程組解的結構

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線性方程組的解

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