問題引入：已知數列的前n項和,求這個數列的通項公式.數列是等差數列嗎?如果是,它的首項與公差分別是什麼? 解:當n>1時: 當n=1時:
綜上:,其中:,
**1:一般地,如果乙個數列的前n項和為:其中為常數,且p0,那麼這個數列一定是等差數列嗎?如果是,它的首項和公差分別是什麼?結論:當r=0時為等差,當r0時不是
一、 應用二次函式圖象求解最值
例1：等差數列中，，則n的取值為多少時？最大
分析：等差數列的前n項和是關於n的二次函式，因此可從二次函式的圖象的角度來求解。
解析：由條件可知，d<0，且，
其圖象是開口向下的拋物線，所以在對稱軸處取得最大值，且對稱軸為，
而，且6.5介於6與7的中點，從而或時最大。
1. 已知等差數列{}中=13且=,那麼n取何值時,取最大值.
解析：設公差為d，由=得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, =13-2(n-1), =15-2n,
由即得：6.5≤n≤7.5,所以n=7時,取最大值.
2. 已知an是各項不為零的等差數列，其中a1＞0，公差d＜0，若s10=0，求數列an前 5 項和取得最大值．
結合二次函式的圖象，得到二次函式圖象的開口向下，根據圖象關於對稱軸對稱的特點，得到函式在對稱軸處取到最大值，，注意對稱軸對應的自變數應該是整數或離對稱軸最近的整數．an是各項不為零的等差數列，其中a1＞0，公差d＜0，s10=0，根據二次函式的圖象特點得到圖象開口向下，且在n==5時，數列an前5項和取得最大值．
二、轉化為求二次函式求最值
例2、在等差數列{}中,＝－14, 公差d＝3, 求數列{}的前n項和的最小值
分析：利用條件轉化為二次函式，通過配方寫成頂點式易求解。
解析：∵＝＋3d, ∴ －14＝＋9,＝－23, ∴＝－23n＋＝[(n－)－],
∴ 當n=最小時，最小，但由於，介於8與9之間，，
即有且，故當n＝8＝－100最小.
點評：通過條件求出，從而將轉化為關於n的二次函式，然後配方求解，但要注意的是此處介於8與9之間，但並不能取兩個整數，判斷的標準是對稱軸是否處於兩個整數中點，否則只有乙個取值。
3. 已知等差數列中，前項和，則使有最小值的是（b ）
a、 b、 cd、
4. 已知an是等差數列，其中a1=31，公差d=﹣8，則數列an前n項和的最大值為 76 ．
分析：（1）根據數列的首項和公差寫出數列的前n項和，它是關於n的二次函式，二次項的係數小於零，函式存在最大值，結合二次函式的最值得到結果，注意變數n的取值．
解答：解：（1）∵an是等差數列，其中a1=31，公差d=﹣8，∴數列an前n項和sn=﹣4n2+35n，
根據二次函式的性質，當n=時，前n項和sn取到最大值，∵n∈n，∴n=4，∴前n項和sn的最大值是sn=﹣64+140=76，
5. 已知乙個等差數列的前項的和是，前項的和是.求此等差數列的前項和，並求出當為何值時，最大，最大值是多少？ = 當n=10或11時，取最大值為110
6. 已知為等差數列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以sn表示的前n項和，則使得sn達到最大值的n是
設的公差為d，由題意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②聯立得a1=39，d=-2，∴sn=39n+ ×（-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400，故當n=20時，sn達到最大值400．
7. 已知等差數列an的公差d＜0，若a3a7=9，a1+a9=10，則該數列的前n項和sn的最大值為 49 ．
分析：根據等差數列的性質得到第3項與第7項的和等於首項與第9項的和等於10，又第3項與第7項的積為9，寫出乙個兩根為a3和a7關於x的一元二次方程，求出方程的解，且根據等差d小於0可得到a3和a7的值，進而求出數列的首項和公差，根據首項和公差寫出等差數列的前n項和公式，配方後即可求出數列的前n項和sn的最大值．解答：解：
由題意a1+a9=10，得到a3+a7=10，又a3a7=9，得到a3，a7為方程x2﹣10x+9=0的兩根，且d＜0，得到a3=9，a7=1，則d=﹣2，所以a1=13，sn=﹣n2+14n﹣49+49=（n﹣7）2+49，則當n=7時，該數列的前n項和sn的最大值為49．故答案為：49
8. 在等差數列an中，a1=25，s17=s9，求sn的最大值．
解：由s17=s9，得到=，即17（2a1+16d）=9（2a1+8d），又a1=25，得：d=﹣=﹣2，所以an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+27，
則sn===﹣n2+26n=﹣（n﹣13）2+169，所以當n=13時，snmax=169．
三、在等差數列中,有關的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當》0,d<0時，滿足的項數m使得取最大.(2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。
例3：已知等差數列的an＝24－3n，則前多少項和最大？
由an＝24－3n知當時，，當時，，前8項或前7項的和取最大值.
9. 已知等差數列的通項bn＝2n-17,則前多少項和最小?
解：由bn＝2n－17n知當時，，當時，， 前8項的和取最小值.
點評：通過數列中數的特性，可由，從解不等式來確定的最大值。小結：
對等差數列前n項和的求法，通常從二次函式與不等式的角度來求解，但有一點要注意的是最值的取值不一定在對稱軸處，必須認真考察n取何值才符合
10. 已知等差數列,滿足an =40-4n ,求前多少項的和最大?最大值是多少?
解法一:由
解法二:令．
11. 在等差數列中，|a3|=|a9|，公差d＜0，則使前n項和sn取得最大值的自然數n是 5或6 ．
分析：根據d＜0，|a3|=|a9|，判斷出a3=﹣a9，進而根據等差數列的通項公式求得a1+5d=0，判斷出a6=0進而可知從數列的第7項開始為負，進而可判斷出前n項和sn取得最大值的自然數n的值．
解答：解：∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3=﹣a9，∴a1+2d=﹣a1﹣8d，∴a1+5d=0，∴a6=0，∴an＞0（1≤n≤5），
12. ∴sn取得最大值時的自然數n是5或6．故答案為：5或6等差數列的公差d＜0，且a12=a102，則數列的前n項和sn取得最大值時的項數n= 5 ．
分析：由a12=a102，得到a1和a10相等或互為相反數，因為公差d小於0，所以得到a1和a10互為相反數即兩項相加等於0，又根據等差數列的性質可知a5和a6的和等於a1和a10的和等於0，得到數列的前n項和sn取得最大值時的項數為5．解答：解：
由d＜0，a12=a102，知a1+a10=0∴a5+a6=0，所以此數列從從第6項開始，以後每項都小於0，故sn取得最大值時的項數n=5．故答案為：5．
點評：此題考查學生掌握等差數列的性質，掌握兩數平方相等時兩數的關係，是一道中檔題．
13. 已知等差數列，3 a5 =8 a12， a1<0，設前n項和為sn,求sn取最小值時n的值．
[分析]求等差數列前n項的和最小,可以用函式的方式去求,亦可以用數列單調性,也可以由完成.
解法一: 點(n,sn)是開口向上拋物線上一些孤立的點,即在函式的圖象上,其對稱軸距離x=15.7最近的整數點(16,s16),
解法二:
14. 已知等差數列，3 a4 =7 a7， a1>0，設前n項和為sn,求sn取最大值時n的值．9
15. 已知等差數列{}, ,=.若，求數列 {}的前n項和的最小值.
分析：①由與的關係，可寫出之間的關係，兩式作差，即可得出與間的關係；
②{}的前n項和最小，估計{}的前n項均為負值，後面均為正值，所有負值之和為最小.
解 =-=-，即8=（+2-（+2，所以（-2-（+2=0，
即（+）（--4）=0，因為，所以+0，即--4=0，所以-=4，
因此等差數列{}的公差大於0. = =,解得=2.所以=4n-2,則=2n-31.
即數列{}也為等差數列且公差為2.由，解得，因為n，所以n=15,故{}的前15項為負值，因此最小，可知=-29，d=2,所以數列 {}的前n項和的最小值為==-225.
16. 為等差數列，公差為，為其前項和，,則下列結論中不正確的是（a）
（a） （b） （c） （d）
17. 等差數列的前項和為，若，則下列結論其中正確結論是a) a．②③ b．①③ c．①④ d．②④
18. 等差數列的前項和的最大值只有，且，則使的的最大值為 。
19. 數列是首項為23，公差為整數的等差數列，且第六項為正，第七項為負。 ⑴求數列的公差；
⑵求前n項和sn的最大值；⑶當sn>0時，求n的最大值。
解：⑴∵a1＝23，a6>0，a7<0，∴∵d為整數，∴d＝－4。
⑵＝23＝－2 =－
∴當時，sn最大＝78。⑶sn＝－2n2+25n>0得0，∴n最大為12。
20. (92高考)設等差數列{}的前n項和為，已知=12， >0, ,
(1)求公差d的取值範圍；（2）指出，，…，中哪乙個值最大，並說明理由.
解析 （1）由=12，得： +2d=12,即=12-2d,由》0，得：12+，所以d>-,
由,得：13+，所以d<-3, 因此，d的取值範圍為（-,-3）.
(2)解法一： =12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d令，得：n<3-,由（1）知： 6時，，因此，最大.
解法二：由題意可得： =n+=n(12-2d)+ =顯然d0,是關於自變數n的二次函式，由（1）知：
d<0,二次函式的影象拋物線的對稱軸為n=,由（1）知：，所以6<<,又因為n,故當n=6時，最大，即最大.簡析：
函式認識等差數列的和為項數的二次函式，構建不等式解範圍；等差數列求和整體思維研究單調性求解。 解得，； ，等差數列｛｝是首項為正數，公差小於0的遞減數列，故最大.
21. 已知, ,則的最大值是
等差數列前n項和的最值教案
課題 等差數列前n項和的最值問題 一 複習 等差數列通項公式當公差d時是關於n 的 函式1.等差數列性質 如果m n p q則 2對稱形式 函式形式 對稱軸方程 引入 在等差數列中，1 若從通項公式來理解 若首項負，公差正，則前n項和有最值 若首項正，公差負，則前n項和有最值 若首項正，公差也正，則...
等差數列的前n項和
2.3.2等差數列的前n項和 一 探索發現 1.等差數列的前項和公式1 2.等差數列的前項和公式2 新課講授。等差數列的前n項和常用的性質 1 等差數列的依次k項之和，sk，s2k sk，s3k s2k 組成公差為 的等差數列 2 數列是等差數列sn an2 bn a，b為常數 數列為等差數列 3 ...
等差數列的前n項和
市優質課教案 一 教學目標 一 知識與技能目標 1掌握等差數列前n項和公式，2能較熟練應用等差數列前n項和公式求和。二 過程與方法目標 經歷公式的推導過程，體會數形結合的數學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察 歸納 反思。三 情感 態度與價值觀目標 獲得發現的成就感，逐步養成科學嚴謹的學習態...