自測題三解答
一、填空題(本題共５小題，每小題3分，滿分15分)1．,則常數=( 11 )；
2．函式，在區間上滿足拉格朗日中值定理的點是( 1 )；
3．函式時，，則常數3 )；
4．已知，則( 0 )；
5．函式在區間上的最大值為( )．解答提示：1．
．所以，解得．
另解：(，否則)
，所以，．
2．由，即，得(捨去-1)．
3．函式時， ，
所以常數，．
另解：，所以，所以…
4．由，得
由洛必達法則或馬克老林公式，得
，所以．
5． ．令，得駐點．
，，，則最大值為．
二、單項選擇題(本題共５小題，每小題3分，滿分15分)1．設，則在點處〖 〗．
a．導數存在，但； b．取得極大值 ；
c．取得極小值d．不可導．
2．已知函式對一切滿足，
且則〖 〗．
a．是極大值b．是極小值；
c．是拐點d．以上說法都不正確．
3．均大於零，且，則當時
〖 〗．
a．； b．；
c．； d．．
4．設函式在內連續，其導函式的圖形如圖所示，則〖 〗．
a．乙個極小值點和兩個極大值點；b．兩個極小值點和乙個極大值點；
c．兩個極小值點和兩個極大值點；d．三個極小值點和乙個極大值點．o5．在上，則或的次序是
〖 〗．
a．； b．；
c．； d．．
解答提示：1． 因為，由保號性定理得，，當時，，即當時，．所以為函式的極小值．
2． . (無論還是)．所以是極小值．
3．記，則．
在上單調遞減，則當時，．
4．由導函式的影象得知，函式有三個駐點，乙個不可導點，且一階導函式在其兩側均變號，所以它們都是極值點，且從左到右依次是：極大值點、極小值點、極大值點、極小值點．
5．，由，得遞增．
所以．三、解答題(本題共6小題，滿分70分)1.(12分)求下列函式的極限
⑴； ⑵.
解 ⑴；
⑵.所以，原式．
2.(10分)證明不等式： ().
解設，．
，.所以，在上嚴格單調遞減，從而當時，．即．注： ．
或用拉格朗日中值定理：令，()
，．3.(12分)設函式在區間[1,2]上二階可導,且,又．證明：在區間(1,2)內至少存在一點,使.
證 ，．
在上應用羅爾定理，，使得．
在上應用羅爾定理，得，使得．
4.(12分)討論函式的性態(單調性，極值，凹凸性，拐點，漸近線)並作出其圖形．
解 ⑴ 定義域為．
；.⑵令，得；令，得．
⑶列表考察函式的性態
⑷因為，所以為水平漸近線．
，所以為鉛直漸近線．
⑸描點作圖，
5.(12分)設某種商品的單價為，需求函式．試求：
⑴要使銷售額最大，商品的單價應為何值？
⑵需求對**的彈性，並指出時，需求對**彈性的經濟意義．解 ⑴銷售額(即收益函式)：，
則邊際收益，令，得惟一駐點．
又．所以，當商品的單價為時，銷售額最大．
⑵需求對**的彈性：．
．其經濟意義為當****(下降)1%時,需求減少(增加)．6.(12分)討論方程實根的個數．
解令，．
則原方程根的個數也就是曲線與直線交點的個數．，令，得．
列表考察函式的性態(不考慮凹凸性)
因為，所以為水平漸近線.
，所以為鉛直漸近線.
函式的影象，如圖3-8．
所以當時，無根；
當或時，恰乙個根；
當時，恰兩個根
第三章中值定理 導數的應用
第一節微分中值定理 一 費馬 fermat 定理 設在點的某鄰域內有定義，且在點可導 如果恒有成立，則 注 fermat定理的幾何意義是 如果在點的值不小於鄰近的函式值 或不大於鄰近的函式值 只要在點曲線有切線，其切線必為水平的 二 羅爾 rolle 定理 如果函式滿足 1 在上連續 2 在內可導 ...
習題詳解 第4章微分中值定理與導數的應用
習題4 1 1 驗證下列各題的正確性，並求滿足結論的的值 1 驗證函式在區間上滿足羅爾定理 2 驗證函式在上滿足拉格朗日中值定理 3 驗證函式在區間上滿足柯西中值定理.解 1 顯然在上連續，在內可導，且，又，可見在內，存在一點使 2 在上連續，即知在內可導，由得，即在內存在使拉格朗日中值公式成立.3...
微分中值定理的證明以及應用
1 微分中值定理的基本內容 微分中值定理是反映導數值與函式值之間的聯絡的三個定理 它們分別是羅爾 中值定理 拉格朗日 中值定理和柯西 中值定理 具體內容如下 1.1 羅爾中值定理 如果函式滿足 1 在閉區間上連續 2 在開區間內可導 3 在區間端點的函式值相等,即,那麼在區間內至少有一點,使函式在該...