14.3導數的應用
【知識網路】
1．了解函式的單調性與導數的關係；能利用導數研究函式的單調性；會求不超過三次的多項式函式的單調區間．
2．結合函式圖象，了解函式在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求不超過三次的多項式函式的極大值、極小值；以及在給定區間上不超過三次的多項式函式的最大值、最小值．
3．體會導數在解決實際問題中的作用．
【典型例題】
[例1]（1）函式是減函式的區間為( )
a2）函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象如圖所示，則函式在開區間內有極小值點（ ）
a．1個
b．2個
c．3個
d． 4個
（3）已知函式的圖象與x軸切於點（1，0），則的極值為（ ）
a．極大值，極小值0 b．極大值0，極小值
c．極小值－，極大值0 d．極大值－，極小值0
（4）設函式的遞減區間為，則a的取值範圍是
（5）函式上的最小值是
[例2] 已知是函式的乙個極值點，其中，
（i）求與的關係式；
（ii）求的單調區間；
（iii）當時，函式的圖象上任意一點的切線斜率恆大於3，求的取值範圍.
[例3] 已知向量在區間（－1，1）上是增函式，求t的取值範圍.
[例4] 已知函式
（ⅰ）當a=2時，求使f（x）＝x成立的x的集合；
（ⅱ）求函式y＝f (x)在區間[1,2]上的最小值.
【課內練習】
1．函式，已知在時取得極值，則=（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
2．函式y=x3－3x的單調遞增區間是 （ ）
a．（－1，1） b．（－∞，－1） c．（－∞，－1）和（1，＋∞）d．（1，＋∞）
3． 若函式y=x3－2x2＋mx，當x=時，函式取得極大值，則m的值為 （ ）
a．3 b．2 c．1 d．
4．函式在
a．（－∞，+∞）內是增函式
b．（－∞，+∞）內是減函式
c．（－1，1）內是增函式，在其餘區間內是減函式
d．（－1，1）內是減函式，在其餘區間內是增函式
5．已知函式f(x)=x3－12x在區間（－∞，－2）與（2，＋∞）內是增函式，在（－2，2）內是減函式，那麼這個函式的極大值是極小值是6．函式y=x4－2x3在[－2，3]上的最大值是 ；最小值是
7．已知函式y= 3x3＋2x2－1在區間（m,0）上為減函式，則m的取值範圍是
8．設函式f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間．
9．用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做乙個無蓋的容器,先在四角分別截去乙個小正方形,然後把四邊翻轉90°角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?
10．已知函式f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數列，，且a＞0,d＞0.設［1-］上，值，在，將點
a， b， c
()求()若△abc有一邊平行於x軸，且面積為，求a ,d的值
14.3導數的應用
a組1．已知函式有極大值和極小值，則a的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
2．點p在曲線y=x3－x上移動，設點p處的切線的傾斜角為α，則α的取值範圍是（ ）
a． b． c． d． [0，]
3．已知函式在（－∞，+∞）上是增函式， 則m的取值範圍是
a．m＜－4或m＞－2 b．－4＜m＜－2
c．2＜m＜4 d．m＜2或m＞4
4．若函式f(x)=ax3＋bx2＋x＋1在x=1與x=－1處有極值，則a= ；b= ．
5．函式f(x)=x＋(x＞0)的單調遞減區間是
6．已知函式，設，討論的單調性．
7．已知函式在點處取得極大值，其導函式的圖象經過點，，如圖所示.求：
（ⅰ）的值；
（ⅱ）的值.
8．已知函式，
（ⅰ）求的單調區間和值域；
（ⅱ）設，函式，若對於任意，總存在，使得成立，求的取值範圍．
b組1．函式y=(x＋1)(x2－1)的單調增區間是（ ）
a．（－∞，－1b．（－∞，－1
c．（－∞，－1d．（，＋∞）
2． 函式y=2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值與最小值分別是（ ）
a．5，－15 b．5，－4 c．－4，－15 d．5，－16
3．若函式在區間內單調遞增，則a的取值範圍是
a． b． c． d．
4．已知函式y=－x3－3x2＋9x－1在[－3，a]上的最小值為－77，則a
5．曲線y=x3在點（a,a3）(a≠0)處的切線與x軸、直線x=a所圍成的三角形的面積為，則a
6．已知函式f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值
（1） 求a、b的值與函式f（x）的單調區間
（2） 若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恆成立，求c的取值範圍。
7．已知函式f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（i）求f(x)的單調遞減區間；
（）若f(x)在區間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值．
8．請您設計乙個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六
稜柱，上部的形狀是側稜長為3m的正六稜錐（如右
圖所示）。試問當帳篷的頂點o到底面中心的距離
為多少時，帳篷的體積最大？
14.3導數的應用
【典型例題】
[例1] （1）d．提示：直接求導後看極大值點與極小值點．
（2）a．提示：給出的函式圖象是導函式圖象不是原函式圖象．
（3）a．提示：據f(1)=0,f′(1)=0,求a,b,在通過求導得極值．
（4）提示：與函式的極值點聯絡．
（5）．提示：先判斷在給定區間上的單調性．
[例2]. 解(i)因為是函式的乙個極值點,所以,即，所以
（ii）由（i）知， =
當時，有，當變化時，與的變化如下表：
故有上表知，當時，在單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減.
（iii）由已知得，即
又所以即①
設，其函式開口向上，由題意知①式恆成立，
所以解之得又所以
即的取值範圍為
例3、解法1：依定義
開口向上的拋物線，故要使在區間
（－1，1）上恆成立
.解法2：依定義
的圖象是開口向下的拋物線，
例4、解：（1）當a=2時,，則方程f(x)=x即為
解方程得：
（2）（i）當a>0時, ，
作出其草圖見右, 易知有兩個極值點借助於影象可知
當時，函式在區間[1,2]上為增函式，此時
當時,顯然此時函式的最小值為
當時，，此時在區間為增函式，在區間上為減函式，∴，又可得
∴則當時，，此時
當時，，此時
當時，,此時在區間為增函式，故
(ii)當時，，此時在區間也為增函式，故
（iii）當時，其草圖見右
顯然函式在區間為增函式，故
【課內練習】
1．b 提示：令導數等於0．
2．c．提示：求導後找極值點．
3．c．提示：f′（）=0
4．d．提示：求導後判斷單調性．
5．16，－16．提示：利用極值定義．
6．32，－．提示：考慮區間端點函式值和極值的大小．
7． [－，0）．提示：考慮導函式在（m,0）內恒為負．
8．(1)減；（2）－1≤a≤0,(－1,+∞) 減; a>0,減,增.
9． 設容器的高為x，容器的體積為v，
則v=（90-2x）（48-2x）x,(0 =4x3-276x2+4320x
∵v′=12 x2-552x+4320
由v′=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36
∵x<10 時，v′>0,
10x>36時，v′>0,
所以,當x=10,v有極大值v(10)=1960
又v(0)=0,v(24)=0,
所以當x=10,v有最大值v(10)=1960
10． ()解:
令,得當時,;
當時,所以f(x)在x=-1處取得最小值即
() 的影象的開口向上,對稱軸方程為
由知在上的最大值為即又由
當時,取得最小值為
由三角形abc有一條邊平行於x軸知ac平行於x軸,所以
又由三角形abc的面積為得
利用b=a+d,c=a+2d,得
聯立(1)(2)可得.
解法2:
又c>0知在上的最大值為
即: 又由
當時,取得最小值為
由三角形abc有一條邊平行於x軸知ac平行於x軸,所以
又由三角形abc的面積為得
利用b=a+d,c=a+2d,得
聯立(1)(2)可得．
14.3導數的應用
a組1．c．提示：考慮f′（x）=0有解．
2．c．提示：k=3x2－1≥－1．
3．c．提示：考慮f′（x）＞0恆成立．
4．－，0．提示：f′（1）=0,f′（－1）=0．
5．（0，）．提示：利用導數判斷．
6．的定義域為（，1）（1，）
因為（其中）恆成立，所以
⑴ 當時，在（，0）（1，）上恆成立，所以在（，1）（1，）上為增函式；
⑵ 當時，在（，0）（0，1）（1，）上恆成立，所以在（，1）（1，）上為增函式；
⑶ 當時，的解為：（，）（t，1）（1，+）
（其中）
所以在各區間內的增減性如下表：
7．（ⅰ） =1; （ⅱ）．
8． 對函式求導，得
令解得或
當變化時，、的變化情況如下表：
所以，當時，是減函式；當時，是增函式；
當時，的值域為
（ⅱ）對函式求導，得
因此，當時，
因此當時，為減函式，從而當時有
又，，即當時有
任給，，存在使得，則
即解式得或
解式得又，故：的取值範圍為．
b組1．b．提示：注意單調區間的表達．
2．a．提示：考慮區間端點函式值和極值的大小．
3．b．提示：考慮對數的真數部分在給定區間上既為正又為減．
4．4．提示：只可能f(a)=－77,解三次方程時可以考慮用76的約數去試根．
導數的應用
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