高三數學複習中對「導數的應用」的教學反思
新教材引進導數之後，無疑為中學數學注入了新的活力，它在函式的單調性、極值、最值等方面有著廣泛的應用，還可以證明不等式，求曲線的切線方程等等。導數的應用一直是高考試題的重點和熱點之一。本學期筆者上了一節市公開課，經課前準備和課後調查，發現學生在導數的應用中疑點較多，本文對幾類常見問題進行剖析和**，以期引起大家的注意。
問題⑴：若為函式f(x)的極值點，則= 0嗎？
答：不一定,缺少乙個條件(可導函式)。反例：函式在處有極小值，而不存在。
正確的命題是：若為可導函式f(x)的極值點，則= 0
問題⑵：若= 0, 則函式f(x)在處一定有極值嗎？
答：不一定。反例：函式有= 0，而f(x) 在處沒有極值。 正確的命題是：若= 0,且函式f(x)在處兩側的導數值符號相反，則函式f(x)在處有極值.
問題⑶：在區間上的可導函式f(x)， >0是函式f(x)在該區間上為增函式的充要條件嗎？
答：不一定。反例：函式在上為增函式，而= 0。
正確的命題是：（函式單調性的充分條件） 在區間上， >0是f(x)在該區間上為增函式的充分而不必要條件.
（函式單調性的必要條件）函式f(x)在某區間上可導，且單調遞增，則在該區間內0。
另外，中學課本上函式單調性的概念與高等數學（數學分析）上函式單調性的概念不一致。數學分析上函式單調性的概念有嚴格單調與不嚴格單調之分。
問題⑷：單調區間應寫成開區間還是寫成閉區間？
答： 若端點屬於定義域，則寫成開區間或閉區間都可以。若端點不屬於定義域，則只能寫成開區間。
問題⑸：「曲線在點p處的切線」與「曲線過點p的切線」有區別嗎？
例1（人教社高中數學第三冊第123頁例3）：已知曲線上一點p（2，）. 求點p處的切線方程。大多數學生能迅速找到解題思路，並得到正確結果： .
變式已知曲線上一點p（2，）。求過點p的切線方程。
解設切點為q,則切線的方程為又點p在切線上，
所以整理，得
所以於是切線的方程為，.
小結：「曲線在點p處的切線」只有一條，且p為切點；「曲線過點p處的切線」有兩條,p不一定是切點。在高三數學複習中，用好課本，尤其是課本例題更為重要，能總結出一些有規律性的東西，可使學生在複習時既有熟悉感又有新奇感，從而提高認識的深度。
問題⑹：過一點p作曲線的切線有幾條？
**1 過曲線上一點p作曲線的切線有幾條？
解設切點為q, 則切線的方程為又點p在切線上
所以整理，得 ①
因為切線的條數等於關於t的方程① 的不同實根的個數
所以：過曲線上一點p引直線與曲線相切，
當時，切線只有一條；當時，切線有兩條。
**2 過曲線外一點p作曲線的切線有幾條？（）
解設切點為q,則切線的方程為
又點p在切線上，得
整理，得
下面討論關於t的方程 ② 的不同實根的個數
令= 則==
當時， 0 ，則在r上單調遞增，易知方程②有唯一實根。所以，過點p的切線只有一條
當時，令=0 得 t=0, t=
所以t=0與 t=是函式的兩個極值點。
下面討論：
當時， 為極大值，為極小值。 從而由圖象可得
當或時，方程②有唯一實根，過點p的切線只有一條。
當時，方程②有兩個不同的實根，過點p的切線有兩條。
當且時，方程②有三個不同的實根，過點p的切線有三條。
當時， 為極小值，為極大值。從而由圖象可得
當或時，方程②有唯一實根，過點p的切線只有一條。
當時，方程②有兩個不同的實根，過點p的切線有兩條。
當且時，方程②有三個不同的實根，過點p的切線有三條。
小結：過曲線外一點p引直線與曲線相切。
當時，過點p的切線只有一條；
當時，過點p的切線可能有一條、兩條和三條。
問題⑺：曲線和它的切線只有乙個公共點嗎？
解設切點為q,則切線的方程為代入曲線消去y，得
整理，得
由於切線與曲線的交點的個數等於關於x的方程③的不同實根的個數。
因此當 t= 0時，切線與曲線有唯一交點；
當 t0時，切線與曲線有兩個不同的交點。
評注：從而加深了對切線新概念（切線是割線的極限位置）的理解，
也糾正了對切線的一些偏面認識。
問題⑻：忽視函式的定義域，容易致錯，也給解題帶來很大困難。
例2 求函式的單調遞增區間。
錯解：所以所以單調遞增區間是和。
正解： 因定義域為， 所以是正數
於是所以單調遞增區間是。
評注：這種型別的題目在高三總複習中常常見到，也是學生常犯的錯誤之一。
函式的單調性是函式性質的核心，是高考必考內容，強調求函式的單調區間時，
不忘求定義域，還要先求定義域，從而達到化繁為簡，事半功倍的效果。
問題：用導數解含引數的函式在某區間上的單調性問題
例3 若函式在內單調遞減，則實數a的取值範圍為
a. b. c. d..
錯解： 因為在內單調遞減，所以在上恆成立，即恆成立。因此。選c
正解： 因為在內單調遞減，所以在上恆成立 ，即恆成立。因此。選a
評注：這種型別的題目是高考試題的重點和熱點，也是學生常見的錯誤之一。出錯的原因在於沒有搞清楚函式單調性的充分條件與必要條件之間的關係；沒有正確理解「教科書第三冊第139頁[1]中函式單調性的充分條件」的含義。
其實這一節教科書也沒有講清楚。
經**得到以下結論： 一般地，設函式在某個區間內可導，則，且方程的解是離散的是f(x)在該區間上為增函式的充要條件; ，且方程的解是離散的是f(x)在該區間上為減函式的充要條件.
對上述「方程的解是離散的」, 筆者認為：部分教師講不恆等於零; 有的教輔資料著函式在個別點的導數等於零，這些**都欠妥，換言之，方程的解是離散的才恰到好處。 另外，一般的，在高考試題中考查含引數的函式在某區間上的單調性問題，不會存在使方程在某個區間內有連續解的情況。
高三數學總複習中，內容多，範圍廣，題量大，善於總結和反思對學生的學和老師的教都頗有益處。以上總結，僅為筆者教學之心得，誠請各位同仁賜教。
導數及其應用單元教學反思
為了突出導數概念的實際背景，教材選用了兩個典型例項，引導學生經歷平均變化率到瞬時變化率的過程，從而理解導數概念的本質 導數就是瞬時變化率。同時，借助函式圖象的直觀性，闡明了圖象的割線與函式平均變化率的關係，即函式的平均變化率就是曲線割線所在直線的斜率，再利用無限逼近的數學思想得到曲線的切線和導數的關...
導數及其應用單元教學反思
本單元共分四節內容，分別是變化率與導數 導數的計算 導數在研究函式中的應用和生活中的優化問題。為了突出導數概念的實際背景，教材選用了兩個典型例項，引導學生經歷平均變化率到瞬時變化率的過程，從而理解導數概念的本質 導數就是瞬時變化率。同時，借助函式圖象的直觀性，闡明了圖象的割線與函式平均變化率的關係，...
導數及其應用 3 2導數的應用 學生
響水二中高三數學 理 一輪複習學案第三編導數及其應用主備人張靈芝總第13期 3.2 導數的應用 班級姓名等第 基礎自測 1.函式y f x 的圖象過原點且它的導函式g f x 的圖象是如圖所示的一條直線，則y f x 圖象的頂點在第象限.2.已知對任意實數x,有f x f x g x g x 且x ...