【知識**
【方法點撥】
導數的應用極其廣泛，是研究函式性質、證明不等式、研究曲線的切線和解決一些實際問題的有力工具，也是提出問題、分析問題和進行理性思維訓練的良好素材。同時，導數是初等數學與高等數學緊密銜接的重要內容，體現了高等數學思想及方法。
1．重視導數的實際背景。導數概念本身有著豐富的實際意義，對導數概念的深刻理解應該從這些實際背景出發，如平均變化率、瞬時變化率和瞬時速度、加速度等。這為我們解決實際問題提供了新的工具，應深刻理解並靈活運用。
2．深刻理解導數概念。概念是根本，是所有性質的基礎，有些問題可以直接用定**決。在理解定義時，要注意「函式在點處的導數」與「函式在開區間內的導數」之間的區別與聯絡。
3．強化導數在函式問題中的應用意識。導數為我們研究函式的性質，如函式的單調性、極值與最值等，提供了一般性的方法。
4．重視「數形結合」的滲透，強調「幾何直觀」。在對導數和定積分的認識和理解中，在研究函式的導數與單調性、極值、最值的關係等問題時，應從數值、圖象等多個方面，尤其是幾何直觀加以理解，增強數形結合的思維意識。
5．加強「導數」的實踐應用。導數作為乙個有力的工具，在解決科技、經濟、生產和生活中的問題，尤其是最優化問題中得到廣泛的應用。
6．（理科用）理解和體會「定積分」的實踐應用。定積分也是解決實際問題（主要是幾何和物理問題）的有力工具，如可以用定積分求一些平面圖形的面積、旋轉體的體積、變速直線運動的路程和變力作的功等，逐步體驗微積分基本定理。
【考綱梳理】
一、變化率與導數、導數的計算[**: ]
1、函式y=f(x)從x1到x2的平均變化率
函式y=f(x)從x1到x2的平均變化率為，若，則平均變化率可表示為。
2、函式y=f(x)在x=x0處導數
（1）定義
稱函式y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率為y=f(x)在x=x0處導數，記作
（2）幾何意義
函式f(x)在點x處的導數的幾何意義是在曲線y=f(x)上點（，）處的切線的斜率。相應地，切線方程為y-y0= (x=x0).
3、函式f(x)的導函式
稱函式為函式f(x)的導函式，導函式有時也記作
注：求函式f(x)在x=x0處的導數的方法：
方法一：直接使用定義；;[**:學&科&網]
方法二：先求導函式，再令x=x0求
4、基本初等函式的導數公式
5、導數運算法則
6、復合函式的導數
復合函式的導數和函式，的導數間的關係為，即對的導數等於對的導數與對的導數的乘積。
方法提示：
1．與的區別：
在對導數的概念進行理解時，特別要注意與是不一樣的，代表函式在處的導數值，不一定為0；而是函式值的導數，而函式值是乙個常量，其導數一定為0，即=0。
2．函式求導的原則：
對於函式求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤。
3．復合函式的求導技巧
（1）復合函式的求導問題是個難點，要分清中間變數與復合關係；（2）必須正確分析復合函式是由哪些基本函式經過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關係；（3）復合函式求導法則，像鏈條一樣，必須一環一環套下去，而不能丟掉其中的任一環。要防止漏掉一部分或漏掉符號造成錯誤。
二、導數在研究函式中的應用與生活中的優化問題
1、函式的單調性與導數
在某個區間（a,b）內，如果，那麼函式在這個區間內單調遞增；如果，那麼函式在這個區間內單調遞減。如果，那麼函式在這個區間上是常數函式。即如圖所示：
注：函式在（a,b）內單調遞增，則，是在（a,b）內單調遞增的充分不必要條件。
2、函式的極值與導數
（1）曲線在極值點處切線的斜率為0，並且，曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正．
一般地，當函式 f(x) 在點 x0 處連續時，判斷 f(x0) 是極大（小）值的方法是：
（1）如果在 x0附近的左側 f』(x)>0 ，右側f』(x) <0 ，那麼 f(x0) 是極大值．
（1）如果在x0附近的左側 f』(x) <0 ，右側f』(x) >0 ，那麼 f(x0) 是極小值．
注：導數為0的點不一定是極值點
3、函式的最值與導數
函式f(x)在[a,b]上有最值的條件
如果在區間[a,b]上函式的圖象是一條連續不斷的曲線，那麼它必有最大值和最小值。
4、生活中的優化問題
解決優化問題的基本思路是：
方法提示：
1．導數的應用
（1）導數的應用主要包括以下幾個方面：①利用導數研究函式的單調性和單調區間；②利用導數研究函式極值與最值；③利用導數研究曲線的切線問題；④利用導數研究不等式的證明問題；⑤利用導數研究函式的零點；⑥利用導數求引數的取值範圍等。
（2）在複習的過程中，應注意總結規律，一般來說，利用導數解決的問題，其所涉及的函式往往具有明顯的特徵，例如：高次函式，非常規函式（由基本初等函式構成）等，這些函式尤其適合利用導數解決。
2．應用導數求解實際問題的最值
在解決實際問題的最值時，一般情況下，其函式是定義域內的單峰函式，即函式在定義域內只有乙個極值點，此時極大值好為最大值，極小值即為最小值。
【要點解析】
一、變化率與導數、導數的運算
（一）利用導數的定義求函式的導數
1、相關鏈結
（1）根據導數的定義求函式在點處導數的方法：
①求函式的增量；
②求平均變化率；
③得導數，簡記作：一差、二比、三極限。
（2）函式的導數與導數值的區間與聯絡：導數是原來函式的導函式，而導數值是導函式在某一點的函式值，導數值是常數。
2、例題解析
〖例1〗求函式y=的在x=1處的導數。
解析：〖例2〗一質點運動的方程為。
（1） 求質點在[1，1+δt]這段時間內的平均速度；
（2） 求質點在t=1時的瞬時速度（用定義及求求導兩種方法）
分析（1）平均速度為；
（2）t=1時的瞬時速度即在t=1處的導數值。
解答：（1）∵
∴δs=8-3(1+δt)2-(8-3×12)=-6δt-3(δt)2,
.（2）定義法：質點在t=1時的瞬時速度
求導法：質點在t時刻的瞬時速度
，當t=1時，v=-6×1=-6.
注：導數的物理意義建立了導數與物體運動的瞬時速度之間的關係。對位移s與時間t的關係式求導可得瞬時速度與時間t的關係。
根據導數的定義求導數是求導數的基本方法，請按照「一差、二比、三極限」的求導步驟來求。
（二）導數的運算
1、相關鏈結
（1）運用可導函式求導法則和導數公式，求函式在開區間（a,b）內的導數的基本步驟：
①分析函式的結構和特徵；
②選擇恰當的求導法則和導數公式求導；
③整理得結果。
（2）對較複雜的函式求導數時，誚先化簡再求導，特別是對數函式真數是根式或分式時，可用對數的性質轉化真數為有理式或整式求解更為方便。[**: ]
（3）復合函式的求導方法
求復合函式的導數，一般是運用復合函式的求導法則，將問題轉化為求基本函式的導數解決。
①分析清楚復合函式的復合關係是由哪些基本函式復合而成的，適當選定中間變數；[**: ]
②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變數求導，而其中特別要注意的是中間變數；
③根據基本函式的導數公式及導數的運算法則，求出各函式的導數，並把中間變數轉換成自變數的函式；
④復合函式的求導熟練以後，中間步驟可以省略，不必再寫出函式的復合過程。
2、例題解析
〖例〗求下列函式的導數。
思路分析：本題考查導數的有關計算，借助於導數的計算公式及常見的初等函式的導數，可以容易求得.
解答：(1)方法一：由題可以先展開解析式然後
再求導：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，
∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′
=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′=18x2+4x-3.
方法二：由題可以利用乘積的求導法則進行求導：
y′=(2x2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′
=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3
=18x2+4x-3.
(2)根據題意把函式的解析式整理變形可得：
(3)根據求導法則進行求導可得：
y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2
(4)根據題意利用除法的求導法則進行求導可得：
(5)設μ=3-2x，則y=(3-2x)5是由y=μ5與μ=3-2x復合而成，所以y′=f′μ·μ′x=(μ5)′·(3-2x)′=5μ4·(-2)=-10μ4=-10(3-2x)4.
規律總結：一般說來，分式函式求導，要先觀察函式的結構特徵，可化為整式函式或較為簡單的分式函式；對數函式的求導，可先化為和、差的形式；三角函式的求導，先利用三角函式公式轉化為和或差的形式.復合函式的求導過程就是對復合函式由外層逐層向里求導.
每次求導都針對最外層，直到求到最裡層為止.所謂最裡層是指此函式已經可以直接引用基本初等函式導數公式進行求導.
（三）導數的幾何意義
【例】已知曲線，
（1） 求曲線在點p(2,4)處的切線方程；
（2） 求曲線過點p(2,4)的切線方程；
（3） 求斜率為4的曲線的切線方程。
思路分析：「該曲線過點p(2，4)的切線方程」與「該曲線在點p(2，4)處的切線方程」是有區別的：過點p(2，4)的切線中，點p(2，4)不一定是切點；在點p(2，4)處的切線，點p(2，4)是切點.
解答：（1）上，且
∴在點p(2,4)處的切線的斜率k==4;
∴曲線在點p(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
（2）設曲線與過點p(2,4)的切線相切於點a（x0，），則切線的斜率，∴切線方程為（）=（-），即
∵點p(2,4)在切線上，∴4=2，即，∴，
∴（x0+1）(x0-2)2=0
解得x0=-1或x0=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.
（3）設切點為（x0,y0）
則切線的斜率為k=x02=4, x0=±2.切點為（2，4），（-2，-4/3）
∴切線方程為y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)
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