文數培優3 導數及其應用（三）——函式零點問題
研究函式的零點問題常常轉化為研究對應方程的實根問題或者兩個函式影象的交點個數的問題。
（1）已知含參函式存在零點，求引數範圍，一般可作為代數問題求解，即對進行分離引數，得到的形式，則所求的範圍就是的值域。
（2）當研究函式的零點個數問題，即方程的實根個數問題時，也常要進行引數分離，得到的形式，然後借助數形結合思想求解。
一、已知方程根或函式零點個數，求引數
例1設為實數，函式
（1）求的極值；
（2）若方程有3個實數根，求的取值範圍；
（3）若函式恰好有兩個零點，求的值。
變式1 已知，且當和時，函式取得極值。
（1）求的解析式；
（2）若曲線與有兩個不同的交點，求實數的取值範圍。
例2 已知函式.證明：曲線與曲線有唯一公共點。
變2 已知函式。
（1）求的單調區間；
（2）若函式沒有零點，求的取值範圍。
二、判斷方程根或函式零點個數
例3 （2012福建文）
已知函式且在上的最大值為。
（i）求函式的解析式；
（ii）判斷函式在內的零點個數，並加以證明。
變3 （2013江蘇）設函式，，其中為實數。
（1）若在上是單調減函式，且在上有最小值，求的取值範圍；
（2）若在上是單調增函式，試求的零點個數，並證明你的結論。
三、已知有零點，求引數
例4[2014·全國新課標卷ⅰ] 已知函式f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值範圍是( )
a．(2，＋∞) b．(1，＋∞)
c．(－∞，－2) d．(－∞，－1)
變4 [2014·四川卷文] 已知函式f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈r，e＝2.718 28…為自然對數的底數．
(1)設g(x)是函式f(x)的導函式，求函式g(x)在區間[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函式f(x)在區間(0，1)內有零點，證明：e－2＜a＜1.
鞏固練習（嘗試高考）
1.（2012·福建高考文科·ｔ12）已知，且．現給出如下結論：①；②；③；④．其中正確結論的序號是（ ）
（abcd)②④
2.（2012·山東高考文科·ｔ12）設函式，.若的圖象與的圖象有且僅有兩個不同的公共點，則下列判斷正確的
是（ ）
(a) (b)
(c) (d)
3. [2014·北京卷] 已知函式f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在區間[－2，1]上的最大值；
(2)若過點p(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值範圍；
(3)問過點a(－1，2)，b(2，10)，c(0，2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切？(只需寫出結論)
4.[2014·廣東卷] 已知函式f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈r)．
(1)求函式f(x)的單調區間；
(2)當a<0時，試討論是否存在，使得
5. [2014·陝西卷] 設函式f(x)＝ln x＋，m∈r.
(1)當m＝e(e為自然對數的底數)時，求f(x)的極小值；
(2)討論函式g(x)＝f′(x)－零點的個數；
(3)若對任意b＞a＞0，＜1恆成立，求m的取值範圍．
.6.（2014·湖南高考文科·ｔ21）（本小題滿分13分）
已知函式.
（1）求的單調區間；
（2）記為的從小到大的第個零點，證明：對一切，有
7．[2014·長沙四校聯考] 已知函式f(x)＝x3＋ax2＋bx.
(1)若函式f(x)在區間[－1，1)，(1，3]內各有乙個極值點，當a2－b取最大值時，求函式f(x)的解析式．
(2)若a＝－1，在曲線y＝f(x)上是否存在唯一的點p，使曲線在點p處的切線l與曲線只有乙個公共點？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
8．（2023年江蘇省16分）若函式在處取得極大值或極小值，則稱為函式的極值點。
已知是實數，1和是函式的兩個極值點．
（1）求和的值；
（2）設函式的導函式，求的極值點；
（3）設，其中，求函式的零點個數．
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